Ache uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}-3 e^{x} que satisfaz a condição F(0)=2. Existe mais de uma? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}-3e^{x} tal que F(0)=2. O conteúdo aqui é antiderivação (ou integração indefinida) e a escolha da constante de integração para satisfazer a condição inicial.

Passo 2

Vamos encontrar a forma geral de F(x) integrando termo a termo. Temos
F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x =\int x^{3}\,\mathrm{d}x-3\int e^{x}\,\mathrm{d}x =\frac{x^{4}}{4}-3e^{x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para determinar C, usamos a condição F(0)=2. Substituindo x=0 na expressão geral:
F(0)=\frac{0^{4}}{4}-3e^{0}+C=-3 + C=2
logo
C=5.

Passo 4

Concluímos que a primitiva procurada é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-3e^{x}+5.
Sobre a unicidade: duas primitivas de f diferem apenas por uma constante, mas a condição F(0)=2 fixa essa constante de modo único. Portanto, não existe outra primitiva que satisfaça F(0)=2.

Resposta

A primitiva é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-3e^{x}+5.
Ela é única dado que a condição inicial fixa a constante de integração.

Exercícios relacionados