Determine a energia de deformação por flexão na viga, decorrente da carga distribuída. E I é constante.

Passo 1

Temos uma viga engastada em A e livre em B de comprimento L, submetida a uma carga distribuída triangular, de intensidade máxima w_0 em A decrescendo linearmente até zero em B. Queremos a energia de deformação por flexão
U = \int_{0}^{L} \frac{M(x)^2}{2\,E\,I}\,\mathrm{d}x
onde M(x) é o momento fletor interno à distância x de A e E\,I é constante ao longo da viga.

Passo 2

Primeiro achamos o momento fletor M(x). Para uma seção em x o momento devido à carga em s\in[x,L] é
M(x)=\int_{x}^{L} w(s)\,(s-x)\,\mathrm{d}s,
com
w(s)=w_{0}\Bigl(1-\frac{s}{L}\Bigr).
Fazendo a integral, obtém-se
M(x) = w_{0}\int_{x}^{L}\Bigl(1-\frac{s}{L}\Bigr)(s-x)\,\mathrm{d}s = \frac{w_{0}}{6\,L}\,(L - x)^{3}.

Passo 3

A energia de deformação por flexão fica então
U = \int_{0}^{L}\frac{M(x)^{2}}{2\,E\,I}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{L}\frac{1}{2\,E\,I}\Bigl(\frac{w_{0}}{6\,L}\Bigr)^{2}(L - x)^{6}\,\mathrm{d}x = \frac{w_{0}^{2}}{72\,E\,I\,L^{2}} \int_{0}^{L}(L - x)^{6}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calculamos a integral usando t=L-x:
\int_{0}^{L}(L - x)^{6}\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{L}t^{6}\,\mathrm{d}t =\frac{L^{7}}{7}.
Logo
U = \frac{w_{0}^{2}}{72\,E\,I\,L^{2}}\;\frac{L^{7}}{7} = \frac{w_{0}^{2}\,L^{5}}{504\,E\,I}.

Resposta

U = \frac{w_{0}^{2}\,L^{5}}{504\,E\,I}.

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