(5) Calcule:
\int_{0}^{1} \frac{x+1}{x^{2}-2 x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x+1}{x^{2}-2x+5}\,dx.
O conteúdo envolve cálculo de integrais por decomposição em frações simples e reconhecimento de derivada no numerador, além de completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Observe que
x^{2}-2x+5 = (x-1)^{2}+4.
Para simplificar, fazemos a substituição
u = x - 1,
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du = dx,\quad x = u+1.
Quando x=0, u=-1. Quando x=1, u=0. A integral passa a ser
\int_{-1}^{0} \frac{(u+1)+1}{u^{2}+4}\,du = \int_{-1}^{0} \frac{u+2}{u^{2}+4}\,du.

Passo 3

Separe em duas parcelas:
\int_{-1}^{0} \frac{u}{u^{2}+4}\,du \;+\;2\int_{-1}^{0} \frac{1}{u^{2}+4}\,du.
A primeira usará substituição direta; a segunda é do tipo \int du/(u^{2}+a^{2}).

Passo 4

Para
\int \frac{u}{u^{2}+4}\,du
note que a derivada de u^{2}+4 é 2u. Então
\int \frac{u}{u^{2}+4}\,du = \frac12 \int \frac{2u}{u^{2}+4}\,du = \frac12 \ln\bigl(u^{2}+4\bigr).
Avaliando de -1 a 0,
\left.\frac12 \ln(u^{2}+4)\right|_{-1}^{0} = \frac12\bigl[\ln(0^{2}+4)-\ln((-1)^{2}+4)\bigr] = \frac12\ln\!\frac{4}{5}.

Passo 5

Para
2\int_{-1}^{0} \frac{1}{u^{2}+4}\,du
lembremos que
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac1a \arctan\!\frac{u}{a}.
Aqui a=2, então
\int \frac{du}{u^{2}+4} = \frac12 \arctan\!\frac{u}{2},
e multiplicando por 2
2\int \frac{du}{u^{2}+4} = \arctan\!\frac{u}{2}.
Avaliando de -1 a 0,
\left.\arctan\!\frac{u}{2}\right|_{-1}^{0} = \arctan(0)-\arctan\Bigl(-\tfrac12\Bigr) = 0 - \bigl(-\arctan\tfrac12\bigr) = \arctan\tfrac12.

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
\int_{0}^{1} \frac{x+1}{x^{2}-2x+5}\,dx = \frac12\ln\!\frac{4}{5} \;+\; \arctan\tfrac12.
Opcionalmente, pode-se reescrever
\tfrac12\ln\!\frac{4}{5}=-\tfrac12\ln\!\frac{5}{4}.

Resposta

\int_{0}^{1} \frac{x+1}{x^{2}-2x+5}\,dx = \frac12\ln\!\frac{4}{5} \;+\; \arctan\tfrac12.

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