(5) Calcule: \int_{0}^{1} \frac{x+1}{x^{2}-2 x+5} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x+1}{x^{2}-2x+5}\,dx.
O conteúdo envolve cálculo de integrais por decomposição em frações simples e reconhecimento de derivada no numerador, além de completar o quadrado no denominador.
Passo 2
Observe que
x^{2}-2x+5 = (x-1)^{2}+4.
Para simplificar, fazemos a substituição
u = x - 1,
logo
du = dx,\quad x = u+1.
Quando x=0, u=-1. Quando x=1, u=0. A integral passa a ser