(5) Calcule:
\int_{1}^{2} \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral
\int_{1}^{2}\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional por frações parciais e tratamento de integral imprópria em x=2, onde o denominador se anula.

Passo 2

Como o integrando tem polo simples em x=2, definimos o integral como impróprio
\int_{1}^{2}\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx =\lim_{b\to2^-}\int_{1}^{b}\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+3}.
Multiplicando tudo por x(x-2)(x+3) e comparando coeficientes em
x+1 = A(x-2)(x+3) + B\,x(x+3) + C\,x(x-2),
obtém-se
A=-\tfrac16,\quad B=\tfrac3{10},\quad C=-\tfrac2{15}.

Passo 4

Integramos termo a termo para achar a primitiva
F(x) = -\tfrac16\ln|x| \;+\;\tfrac3{10}\ln|x-2|\;-\;\tfrac2{15}\ln|x+3|.

Passo 5

Calculamos
\lim_{b\to2^-}\bigl[F(b)-F(1)\bigr].
Ao aproximar b de 2 pelo lado esquerdo, o termo \ln|b-2| com coeficiente positivo \tfrac3{10} diverge para -\infty. Portanto, o integral não converge.

Resposta

O integral \displaystyle\int_{1}^{2}\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx é divergente (vai a -\infty).

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