Ache a projeção ortogonal de u na direção de v.
Determine u=(1,-2,1) e v=(2,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de \mathbf{u}=(1,-2,1) na direção de \mathbf{v}=(2,-1,1). Em Álgebra Linear, usamos a fórmula
\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}\;\mathbf{v}.

Passo 2

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = 1\cdot 2 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 2 + 2 + 1 = 5.

Passo 3

Calcular \mathbf{v}\cdot \mathbf{v}:
\mathbf{v}\cdot \mathbf{v} = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6.

Passo 4

Substituir na fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{5}{6}\,(2,-1,1) = \Bigl(\frac{10}{6},-\frac{5}{6},\frac{5}{6}\Bigr) = \Bigl(\frac{5}{3},-\frac{5}{6},\frac{5}{6}\Bigr).

Resposta

\bigl(\tfrac{5}{3},-\tfrac{5}{6},\tfrac{5}{6}\bigr)

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