Considere os seguintes pontos: A=(3,-2,8) B=(0,0,2) e C=(2,3,2). O triângulo A B C é um triângulo retângulo? Justifique. Além disso, calcule a área do triângulo A B C. (Relembre: a área de um triângulo é dada por (base \times altura)/2).

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço: A=(3,-2,8), B=(0,0,2) e C=(2,3,2). Precisamos verificar se o triângulo ABC é retângulo e, em caso afirmativo, calcular sua área usando a fórmula
\text{área} = \frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}.á

Passo 2

Para checar se há um ângulo reto, escolhemos o vértice B e formamos os vetores que saem de B:
\overrightarrow{BA} = A - B = (3,-2,8) - (0,0,2) = (3,-2,6),
\overrightarrow{BC} = C - B = (2,3,2) - (0,0,2) = (2,3,0).
Agora usamos o fato de que vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar for zero:
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = 3\cdot2 + (-2)\cdot3 + 6\cdot0 = 6 - 6 + 0 = 0.
Como o produto escalar é zero, concluímos que o ângulo em B é reto. Logo, o triângulo ABC é retângulo em B.

Passo 3

Para calcular a área, tomamos como base e altura os comprimentos de \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}. Seus módulos são
\|\overrightarrow{BA}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7,
\|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.
Assim, a área do triângulo é
\text{área} = \frac{\|\overrightarrow{BA}\|\;\|\overrightarrow{BC}\|}{2} = \frac{7 \,\sqrt{13}}{2}.á

Resposta

Sim, o triângulo ABC é retângulo em B.
A área do triângulo é \frac{7\sqrt{13}}{2}.

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