Calcule o ângulo entre os vetores (1,2,2) e (1,0,3). (Pode deixar na forma \operatorname{arccos} (x) caso não seja um ângulo notável). Quais dos pares acima são ortogonais? Determine se os vetores são ortogonais:

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \mathbf{v}=(1,2,2) e \mathbf{w}=(1,0,3),
e pede o ângulo entre eles e verificar se são ortogonais.
Para isso vamos usar o produto escalar, as normas e a relação
\cos\theta = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{w}\|},
alem de lembrar que vetores são ortogonais se, e somente se, \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=0.

Passo 2

Calculemos o produto escalar
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} =1\cdot1 + 2\cdot0 + 2\cdot3 =1 + 0 + 6 =7.

Passo 3

Agora as normas:
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} =\sqrt{1 + 4 + 4} =\sqrt{9} =3,
\|\mathbf{w}\| =\sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} =\sqrt{1 + 0 + 9} =\sqrt{10}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do cosseno:
\cos\theta =\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{w}\|} =\frac{7}{3\sqrt{10}}.
Logo o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{3\sqrt{10}}\bigr).

Passo 5

Para verificar ortogonalidade basta checar se \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=0.
Como encontramos \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=7\neq0,
os vetores não são ortogonais.

Resposta

O ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{w} é
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{3\sqrt{10}}\bigr),
e os vetores não são ortogonais.

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