Verifique que a série
converge para
. Tal série converge absolutamente para todo
? Explique.
Passo 1
O enunciado dá a série
e faz duas coisas:
- Pede para verificar que essa série converge quando
. - Pergunta se essa mesma série converge absolutamente para todo
e pede uma explicação.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A série é a soma dos termos
para . - A variável
é real (assumido implicitamente pelo enunciado). - Não há outras hipóteses adicionais.
Passo 2
Lembrete / ferramenta principal: série geométrica.
Considere a série geométrica padrão , onde
é um número real (ou complexo). As somas parciais são
Considere a série geométrica padrão
Se
, então
quando
, logo
Se
, a sequência dos termos
não vai a zero (ou cresce), portanto a série não converge.
Explicando de forma bem prática: a série geométrica converge exatamente quando o módulo da razão é menor que
.
Explicando de forma bem prática: a série geométrica converge exatamente quando o módulo da razão
Passo 3
Reconhecendo nossa série como geométrica.
Nosso termo geral é . Assim podemos identificar a razão geométrica
Nosso termo geral é
Pelo resultado do passo anterior, a série
converge se, e somente se,
, ou seja
Como
para todo
, essa condição simplifica para
Portanto a série converge exatamente para
. Quando converge, a soma é
Passo 4
Verificação para
.
Substituindo temos
, que satisfaz
. Logo a série converge e sua soma é
Substituindo
Assim, a verificação pedida está feita: a série converge para
e o valor da soma é
.
Passo 5
Discussão sobre convergência absoluta.
Para séries reais, a convergência absoluta significa que a série dos módulos dos termos converge:
Para séries reais, a convergência absoluta significa que a série dos módulos dos termos converge:
Mas aqui, para
real, os termos
são positivos, então
. Logo convergência absoluta coincide com convergência usual: a série converge absolutamente exatamente quando converge. Pelo passo 3, isso acontece exatamente para
.
Passo 6
Analisando o intervalo pedido
.
- Para
temos , portanto a série converge (e, como visto, converge absolutamente). - Para
temos , então a série é , que diverge. - Para
(incluindo e qualquer ponto em ) tem , logo cresce e a série diverge.
Portanto, dentro do intervaloa série só converge (e converge absolutamente) para . O ponto (fora do intervalo aberto à esquerda) também converge, como já verificado; mas na pergunta sobre o subconjunto de convergência absoluta é exatamente .
Passo 7
Resumo intuitivo e exemplo rápido para fixar:
- Se a razão
está abaixo de (ou seja ) a soma se estabiliza porque cada termo fica menor a cada multiplicação por . - Se
(ou seja ) os termos não tendem a zero e a soma não pode convergir.
Exemplos numéricos:dá → converge; dá → diverge; dá termos iguais a → diverge.
Resposta
Sim. Para
a série é
.
Não. A série converge absolutamente exatamente para ; dentro de
isso corresponde a
.
Não. A série converge absolutamente exatamente para