Verifique que a série \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n x} converge para x=-1. Tal série converge absolutamente para todo x \in(-1,1] ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n x} e faz duas coisas:
  • Pede para verificar que essa série converge quando x=-1.
  • Pergunta se essa mesma série converge absolutamente para todo x\in(-1,1] e pede uma explicação.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A série é a soma dos termos a_n=2^{n x} para n=0,1,2,\dots.
  • A variável x é real (assumido implicitamente pelo enunciado).
  • Não há outras hipóteses adicionais.

Passo 2

Lembrete / ferramenta principal: série geométrica.
Considere a série geométrica padrão \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}, onde r é um número real (ou complexo). As somas parciais são
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\quad\text{(para }r\neq1\text{)}.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Se |r|\ge1, a sequência dos termos r^{n} não vai a zero (ou cresce), portanto a série não converge.
Explicando de forma bem prática: a série geométrica converge exatamente quando o módulo da razão r é menor que 1.

Passo 3

Reconhecendo nossa série como geométrica.
Nosso termo geral é a_n=2^{n x}=(2^{x})^{n}. Assim podemos identificar a razão geométrica
r=2^{x}.
Pelo resultado do passo anterior, a série \sum_{n=0}^{\infty}2^{n x} converge se, e somente se, |r|<1, ou seja
|2^{x}|<1.
Como 2^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, essa condição simplifica para
2^{x}<1\quad\Longleftrightarrow\quad x<0.
Portanto a série converge exatamente para x<0. Quando converge, a soma é
\sum_{n=0}^{\infty}2^{n x}=\frac{1}{1-2^{x}}\qquad(\text{para }x<0).

Passo 4

Verificação para x=-1.
Substituindo x=-1 temos r=2^{-1}=\tfrac{1}{2}, que satisfaz |r|<1. Logo a série converge e sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Assim, a verificação pedida está feita: a série converge para x=-1 e o valor da soma é 2.

Passo 5

Discussão sobre convergência absoluta.
Para séries reais, a convergência absoluta significa que a série dos módulos dos termos converge:
\text{convergência absoluta} \iff \sum_{n=0}^{\infty}|2^{n x}| \text{ converge.}ê
Mas aqui, para x real, os termos 2^{n x} são positivos, então |2^{n x}|=2^{n x}. Logo convergência absoluta coincide com convergência usual: a série converge absolutamente exatamente quando converge. Pelo passo 3, isso acontece exatamente para x<0.

Passo 6

Analisando o intervalo pedido (-1,1].
  • Para x\in(-1,0) temos x<0, portanto a série converge (e, como visto, converge absolutamente).
  • Para x=0 temos a_n=2^{0\cdot n}=1, então a série é \sum_{n=0}^{\infty}1, que diverge.
  • Para x>0 (incluindo x=1 e qualquer ponto em (0,1]) tem 2^{x}>1, logo a_n=(2^{x})^{n} cresce e a série diverge.
    Portanto, dentro do intervalo (-1,1] a série só converge (e converge absolutamente) para x\in(-1,0). O ponto x=-1 (fora do intervalo aberto à esquerda) também converge, como já verificado; mas na pergunta sobre (-1,1] o subconjunto de convergência absoluta é exatamente (-1,0).

Passo 7

Resumo intuitivo e exemplo rápido para fixar:
  • Se a razão r=2^{x} está abaixo de 1 (ou seja x<0) a soma se estabiliza porque cada termo fica menor a cada multiplicação por r.
  • Se r\ge1 (ou seja x\ge0) os termos não tendem a zero e a soma não pode convergir.
    Exemplos numéricos: x=-\tfrac{1}{2} r=2^{-1/2}<1 → converge; x=\tfrac{1}{2} r=2^{1/2}>1 → diverge; x=0 dá termos iguais a 1 → diverge.

Resposta

Sim. Para x=-1 a série é \sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}=2.
Não. A série converge absolutamente exatamente para x<0; dentro de (-1,1] isso corresponde a x\in(-1,0).

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