Ache o raio e intervalo de convergência da série de potências: sumn=0^infty(-1)^n (x-3)^nn+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=0^infty (-1)^n (x-3)^nn+1
Para isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos identificar an = (-1)^n (x-3)^nn+1 na nossa série:
an+1 = (-1)^n+1 (x-3)^n+1(n+1)+1 = (-1)^n+1 (x-3)^n+1n+2
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão | an+1an | = | (-1)^n+1 (x-3)^n+1n+2 (-1)^n (x-3)^nn+1 | :
= | (-1)^n+1 - n cdot (x-3)^n+1(x-3)^n cdot n+1n+2 | = | -1 cdot (x-3) cdot n+1n+2 |
Simplificando os termos:
= |x-3| cdot n+1n+2
Como estamos lidando com valores absolutos, o desaparece:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x-3| cdot n+1n+2 = |x-3| cdot limn to infty n+1n+2 tende ao infinito:
L = |x-3|
O limite é igual a 1, então:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que |x-3| < 1 :
Isso significa que o valor absoluto da diferença entre e 3 deve ser menor que 1.

Passo 7

Vamos resolver a inequação -1 < x - 3 < 1 :
2 < x < 4
Adicionando 3 em todos os lados:
Então, o raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados