integral 22 x^2+3 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando cálculo. O enunciado é:
integral 22x^2 + 3x + 1 , dx
Para resolver isso, vamos precisar usar o processo de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples que conseguimos integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Precisamos fatorar esse polinômio para conseguir quebrar a fração em partes menores. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de dois binômios.

Passo 3

Vamos tentar fatorar 2x^2 + 2x + x + 1 = (2x^2 + 2x) + (x + 1) = 2x(x + 1) + 1(x + 1) = (2x + 1)(x + 1) . Procuramos dois números que, multiplicados, dão (coeficiente de vezes o termo constante) e que, somados, dão (coeficiente de ).
Os números são 1 e 2, porque e .
Então, podemos reescrever o polinômio assim:

Passo 4

Agora que fatoramos o denominador, substituímos de volta na integral:
integral 2(2x + 1)(x + 1) , dx
Vamos usar fra��ões parciais para dividir essa fração em duas partes mais simples:
2(2x + 1)(x + 1) = A2x + 1 + Bx + 1

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 = A(x + 1) + B(2x + 1) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de e . Podemos fazer isso escolhendo valores de que simplificam a equação.

Passo 6

Escolha 2 = A(-1 + 1) + B(2(-1) + 1) Rightarrow 2 = 0 + B(-2 + 1) Rightarrow 2 = -B Rightarrow B = -2 :
2 = A(-12 + 1) + B(2(-12) + 1) Rightarrow 2 = A(12) + B( -1 + 1 ) Rightarrow 2 = A2 Rightarrow A = 4
Agora, escolha :

Passo 7

Agora que temos integral ( 42x + 1 - 2x + 1 ) , dx e 4 integral 12x + 1 , dx - 2 integral 1x + 1 , dx , podemos reescrever a integral:
Vamos separar as integrais:

Passo 8

Vamos resolver cada uma:
  1. Para 12 ln|2x + 1| , fazemos a substituição , então ou . A integral fica:
  1. Para , a antiderivada é simplesmente .

Passo 9

Agora, juntando tudo:
4 ( 12 ln|2x + 1| ) - 2 ln|x + 1| + C = 2 ln|2x + 1| - 2 ln|x + 1| + C
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
2 ln( 2x + 1x + 1 ) + C

Resposta

A integral resulta em:
2 ln( 2x + 1x + 1 ) + C

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