Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando cálculo. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o processo de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples que conseguimos integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Precisamos fatorar esse polinômio para conseguir quebrar a fração em partes menores. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de dois binômios.
Passo 3
Vamos tentar fatorar
. Procuramos dois números que, multiplicados, dão
(coeficiente de
vezes o termo constante) e que, somados, dão
(coeficiente de
).
Os números são 1 e 2, porque
e
.
Então, podemos reescrever o polinômio assim:
Passo 4
Agora que fatoramos o denominador, substituímos de volta na integral:
Vamos usar fra��ões parciais para dividir essa fração em duas partes mais simples:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Podemos fazer isso escolhendo valores de
que simplificam a equação.
Passo 6
Escolha
:
Agora, escolha
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos reescrever a integral:
Vamos separar as integrais:
Passo 8
Vamos resolver cada uma:
- Para
, fazemos a substituição , então ou . A integral fica:
- Para
, a antiderivada é simplesmente .
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A integral resulta em: