Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral:
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente integrais que requerem substituição (também conhecida como substituição u).
O que vamos precisar: Conhecer a técnica de substituição para simplificar a integral e facilitar a resolução.
O que vamos precisar: Conhecer a técnica de substituição para simplificar a integral e facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição adequada para simplificar a integral. Observamos que o denominador é
, e o numerador contém
. Uma boa estratégia é escolher:
Por que essa substituição? Porque a derivada de
em relação a
(
) aparecerá na integral, permitindo simplificar a expressão.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, isolamos
:
Explicação: Isso nos ajuda a expressar a parte da integral que envolve
em termos de
, facilitando a substituição na integral original.
Passo 4
Reescrevemos o numerador
como
. Sabemos que
, então:
Portanto:
Por que fazemos isso? Queremos expressar toda a integral em termos de
e
, eliminando o
.
Passo 5
Substituímos na integral original:
Lembrando que
, temos:
Passo 6
Simplificamos a fração dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta em termos de
:
Então:
Como
é sempre positivo, podemos remover as barras de valor absoluto.
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.