integral x^3(x^2+2)^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral:
integral x^3(x^2+2)^2 , dx
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente integrais que requerem substituição (também conhecida como substituição u).
O que vamos precisar: Conhecer a técnica de substituição para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada para simplificar a integral. Observamos que o denominador é u = x^2 + 2 , e o numerador contém . Uma boa estratégia é escolher:
Por que essa substituição? Porque a derivada de em relação a ( ) aparecerá na integral, permitindo simplificar a expressão.

Passo 3

Calculamos a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 :
Agora, isolamos :
Explicação: Isso nos ajuda a expressar a parte da integral que envolve em termos de , facilitando a substituição na integral original.

Passo 4

Reescrevemos o numerador x^2 = u - 2 como x^3 = x^2 cdot x = (u - 2) cdot x . Sabemos que , então:
Portanto:
Por que fazemos isso? Queremos expressar toda a integral em termos de e , eliminando o .

Passo 5

Substituímos na integral original:
integral x^3(x^2 + 2)^2 , dx = integral (u - 2) cdot xu^2 , dx
Lembrando que = integral (u - 2)u^2 cdot du2 , temos:
= 12 integral u - 2u^2 , du

Passo 6

Simplificamos a fração dentro da integral:
u - 2u^2 = uu^2 - 2u^2 = 1u - 2u^2
Assim, a integral fica:
12 integral ( 1u - 2u^2 ) , du

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
12 ( integral 1u , du - 2 integral 1u^2 , du )
Sabemos que:
integral 1u , du = ln|u| + C
integral 1u^2 , du = -1u + C
Portanto:
= 12 ( ln|u| - 2 ( -1u ) ) + C
= 12 ln|u| + 1u + C

Passo 8

Finalmente, substituímos u = x^2 + 2 de volta em termos de 12 ln|x^2 + 2| + 1x^2 + 2 + C :
Então:
Como é sempre positivo, podemos remover as barras de valor absoluto.

Resposta

A integral é igual a:
12 ln(x^2 + 2) + 1x^2 + 2 + C
onde é a constante de integração.

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