Ache o raio e intervalo de convergência das séries:
sumn=1^+infty x^nn

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^+inftyx^nn
Aqui vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois analisar separadamente os dois extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplique o teste da razão aos termos an = tfracx^nn. Calcule
L ;=;limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^n+1/(n+1)x^n/n| =limntoinfty|x|;nn+1 =|x|
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é, se |x|<1. Logo o raio de convergência é
R = 1

Passo 3

Agora testamos o extremo x=1. A série vira
sumn=1^+infty1^nn =sumn=1^+infty1n,
que é a série harmônica, conhecida por divergir. Portanto não inclui x=1.

Passo 4

Testamos o extremo x=-1. A série fica
sumn=1^+infty(-1)^nn
É a série alternada cujos termos em valor absoluto tfrac1n são decrescentes e vão a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Passo 5

Juntando tudo:
  • Converge para |x|<1.
  • Diverge em x=1.
  • Converge em x=-1.
Logo o intervalo de convergência é
[-1,1)

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1).

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