Ache o raio e intervalo de convergência das séries:
sumn=1^+infty 2^n(x-1)^nn^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=1:
sumn=1^infty 2^n(x-1)^nn^2
O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou da razão) para séries de potências, que nos fornece o raio de convergência R. Depois, precisamos testar o comportamento da série nos pontos de fronteira x=1pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: calculamos
L ;=;limsupntoinftyraiz[n]|2^n(x-1)^nn^2| =limsupntoinftyl(2,|x-1|r),n^-2/n
Como
limntoinftyn^-2/n=1,
ficamos com
L=2,|x-1|

Passo 3

Para a série convergir pelo teste da raiz, precisamos de L<1. Logo,
2,|x-1|<1 Longrightarrow |x-1|<tfrac12
Isto mostra que o raio de convergência é
R=tfrac12

Passo 4

O intervalo de convergência centralizado em 1 é, a princípio,
1-tfrac12 < x < 1+tfrac12 Longrightarrow 0,5 < x < 1,5
Agora testamos os extremos x=0,5 e x=1,5 separadamente.

Passo 5

Em x=1+tfrac12=1,5, temos x-1=tfrac12 e a série vira
sumn=1^infty2^nl(tfrac12r)^nn^2 =sumn=1^infty1n^2
Essa é a série p com p=2>1, que converge absolutamente. Portanto, x=1,5 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Em x=1-tfrac12=0,5, temos x-1=-tfrac12 e
2^nl(-tfrac12r)^n=(-1)^n,
de modo que a série fica
sumn=1^infty(-1)^nn^2
Como l|(-1)^n/n^2r|=1/n^2 também gera p-série com p=2>1, há convergência absoluta. Logo, x=0,5 também entra.

Resposta

O raio de convergência é R=tfrac12 e o intervalo de convergência é
[,0,5,;1,5,]

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