Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
em convergente absolutamente, convergente condicionalmente ou divergente.
Conteúdo: critérios de convergência de séries (série alternante, teste da comparação, teste da razão).
Passo 2
Definimos . Note que para todo . Para estudar convergência absoluta, consideramos
Passo 3
Usamos o teste da comparação com uma série geométrica. Lembrando que
sech(n)=2e^n+e^-n
e, para n>=1, e^n+e^-n>= e^n. Logo
sech(n) =2e^n+e^-n <=2e^n =2,e^-n
Como sumn=1^infty2,e^-n é uma série geométrica de razão e^-1<1, ela converge.
Passo 4
Pelo teste da comparação ( e converge), segue que
converge. Portanto a série original converge absolutamente, pois converge.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n,sech(n) converge absolutamente.