Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n cdot sec h n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n,sech(n)
em convergente absolutamente, convergente condicionalmente ou divergente.
Conteúdo: critérios de convergência de séries (série alternante, teste da comparação, teste da razão).

Passo 2

Definimos an = (-1)^n,sech(n). Note que sech(n)>0 para todo n. Para estudar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^inftysech(n)

Passo 3

Usamos o teste da comparação com uma série geométrica. Lembrando que
sech(n)=2e^n+e^-n
e, para n>=1, e^n+e^-n>= e^n. Logo
sech(n) =2e^n+e^-n <=2e^n =2,e^-n
Como sumn=1^infty2,e^-n é uma série geométrica de razão e^-1<1, ela converge.

Passo 4

Pelo teste da comparação ( e converge), segue que
converge. Portanto a série original converge absolutamente, pois converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n,sech(n) converge absolutamente.

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