Ache o raio e intervalo de convergência das séries:
sumn=1^+infty (x+3)^n(n+1) 5^n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x=-3:
sumn=1^+infty (x+3)^n(n+1),5^n
Queremos achar o raio de convergência R e o intervalo de convergência, inclusive testando os pontos de fronteira x=-8 e x=2.

Passo 2

Para encontrar o raio de convergência usamos o Teste da Razão. Seja
an = (x+3)^n(n+1),5^n
Calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|(x+3)^n+1(n+2),5^n+1 cdot(n+1),5^n(x+3)^n| = |x+3|5,limntoinftyn+1n+2 = |x+3|5

Passo 3

O Teste da Razão indica convergência quando
|x+3|5 < 1 Longrightarrow |x+3| < 5
Logo o raio de convergência é
R = 5,
e o domínio de convergência absoluta é
-8 < x < 2

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x = -8 temos x+3 = -5 e a série vira
sumn=1^+infty (-5)^n(n+1),5^n = sumn=1^+infty (-1)^nn+1
Essa é uma série alternada cujos termos tfrac1n+1 decrescem para zero. Pelo Teste de Leibniz, ela converge (condicionalmente).

Passo 5

Para x = 2 temos x+3 = 5 e a série fica
sumn=1^+infty 5^n(n+1),5^n = sumn=1^+infty 1n+1,
que é essencialmente a série harmônica deslocada. Como sum 1/(n+1) diverge, a série diverge em x=2.

Resposta

Raio de convergência: R=5.
Intervalo de convergência: [-8,2).

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