Ache uma representação em série de potência da função y=1(1-x)^3.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potência (em torno de x=0) da função
y = 1(1 - x)^3
O conteúdo utilizado será a série geométrica padrão e sua diferenciação sucessiva para gerar potências crescentes de (1-x)^-1.

Passo 2

Lembramos que para lvert xrvert<1 vale a série geométrica
11 - x ;=; sumn=0^infty x^n

Passo 3

Diferenciando termo a termo em relação a x obtemos
ddxl(11 - xr) ;=; 1(1 - x)^2 ;=; sumn=0^infty n,x^n-1 ;=; sumn=1^infty n,x^,n-1
Diferenciando mais uma vez:
ddxl(1(1 - x)^2r) ;=; 2(1 - x)^3 ;=; sumn=1^infty n(n-1),x^,n-2 ;=; summ=0^infty (m+2)(m+1),x^,m,
onde em m=n-2 reindexamos a soma de n=2,3,dots para m=0,1,dots.

Passo 4

Isolando 1(1 - x)^3 na igualdade anterior:
1(1 - x)^3 ;=; 12summ=0^infty(m+2)(m+1),x^m ;=; sumn=0^infty(n+1)(n+2)2,x^n

Resposta

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