Teste a série quanto a convergência ou divergência
sumn=0^infty 1+sen n10^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=0^infty 1+sin n10^n
Isso é um problema de séries numéricas de termos reais. Vamos usar como ferramentas: (i) a convergência da série geométrica e (ii) o critério da comparação a partir do fato de que sin n é limitado.

Passo 2

Escrevemos a série como soma de duas séries mais simples:
sumn=0^infty 1+sin n10^n =sumn=0^infty 110^n +sumn=0^infty sin n10^n

Passo 3

A primeira série é geométrica de razão 1/10. Sabemos que
sumn=0^infty 110^n =11-tfrac110 =1tfrac910 =109,
logo ela converge.

Passo 4

Para a segunda série usamos que sin n satisfaz lvert sin nrvert<=1. Assim,
|sin n10^n| <=110^n,
e como sumn=0^infty1/10^n converge, pelo critério da comparação absoluta concluímos que
sumn=0^inftysin n/10^n também converge (absolutamente).

Passo 5

Como ambas as séries parciais convergem, a série original converge. Além disso, a convergência é absoluta.

Resposta

A série
sumn=0^infty 1+sin n10^n
converge absolutamente.

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