Teste a série quanto a convergência ou divergência
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Isso é um problema de séries numéricas de termos reais. Vamos usar como ferramentas: (i) a convergência da série geométrica e (ii) o critério da comparação a partir do fato de que é limitado.
Passo 2
Escrevemos a série como soma de duas séries mais simples:
Passo 3
A primeira série é geométrica de razão . Sabemos que
logo ela converge.
Passo 4
Para a segunda série usamos que satisfaz . Assim,
e como sumn=0^infty1/10^n converge, pelo critério da comparação absoluta concluímos que sumn=0^inftysin n/10^n também converge (absolutamente).
Passo 5
Como ambas as séries parciais convergem, a série original converge. Além disso, a convergência é absoluta.