Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (1+1n)^2 ne^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty an,
onde
an = l(1+tfrac1nr)^2ne^n
Queremos saber se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para séries de termos positivos, basta decidir se converge ou diverge; além disso, se convergir já será convergência absoluta. Vamos usar o critério da raiz n-ésima, que diz que, se
L = limntoinfty raiz[n]an,
então:
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calcular a raiz n-ésima de an:
raiz[n]an = raiz[n]l(1+tfrac1nr)^2ne^n = l(1+tfrac1nr)^2e

Passo 3

Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinftyraiz[n]an = limntoinftyl(1+tfrac1nr)^2e = 1^2e = 1e
Como tfrac1e<1, o critério da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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