Ache a série de Maclaurin para a função y=12-x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (ou seja, a expansão em série de potências em torno de x=0) para a função
y = 12 - x
O conteúdo principal aqui é reconhecer a forma de série geométrica e aplicá-la.

Passo 2

Reescrevemos a função de modo a evidenciar a forma geométrica. Note que
y = 12 - x = 12,11 - tfracx2

Passo 3

Lembramos que, para lvert trvert<1, vale a série geométrica
11 - t ;=; sumn=0^infty t^n
No nosso caso, t = tfracx2 e a condição de convergência é lvert x/2rvert<1, ou seja, lvert xrvert<2.

Passo 4

Substituindo t = tfracx2 em 12,11 - t, obtemos
y = 12,sumn=0^infty l(x2r)^n = sumn=0^infty 12,x^n2^n = sumn=0^infty x^n2^,n+1

Resposta

A série de Maclaurin para y=12-x é
boxedy = sumn=0^infty x^n2^,n+1, válida para |x|<2 á

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