Ache o resto da divisão
de 3^100 por 34

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de ,3^100 por 34. É um problema de aritmética modular, e a principal ferramenta aqui será o Teorema de Euler para reduzir expoentes grandes.

Passo 2

Primeiro verificamos que gcd(3,34)=1, então podemos usar Euler. Calculamos
varphi(34)=varphi(2),varphi(17)=1cdot16=16

Passo 3

Pelo Teorema de Euler, se gcd(a,n)=1 então
a^varphi(n)equiv1pmod n
Logo,
3^16equiv1pmod34

Passo 4

Escrevemos 100 na forma 100=16cdot6+4, daí
3^100=(3^16)^6cdot3^4equiv1^6cdot3^4equiv3^4pmod34
Basta calcular
3^4=81equiv81-2cdot34=81-68=13pmod34

Resposta

O resto da divisão de 3^100 por 34 é 13.

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