Encontre a área da parte da superficie z=raiz4-x^2 que fica acima do retângulo R do plano-xy cujas coordenadas satisfazem 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 4. Dica: integral 1raiza^2-u^2 d u=arcsin (ua)+c.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra encontrar a área da parte da superfície
z = raiz4 - x^2
que fica acima do retângulo
R: ;0 <= x <= 1, 0 <= y <= 4
Isso cai em “área de superfície” no cálculo, que usa derivadas parciais e integração dupla.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula de área de superfície para z=f(x,y).
  2. Calcular fx e fy.
  3. Montar e resolver o integral duplo sobre R.
  4. Usar a dica
integral 1raiza^2 - u^2,du = arcsin!(ua) + C

Passo 2

A fórmula geral para a área de uma superfície z = f(x,y) sobre uma região R é
A = integral duplaR raiz1 + (fx)^2 + (fy)^2;dA
Aqui f(x,y)=raiz4-x^2.

Passo 3

Vamos às derivadas parciais:
fx = partialpartial xraiz4-x^2 = -xraiz4-x^2, fy = 0
(pois não há y em f).
Então dentro da raiz fica
1 + (fx)^2 + (fy)^2 = 1 + x^24 - x^2 + 0 = 4-x^2 + x^24 - x^2 = 44 - x^2,
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raiz1 + (fx)^2 + (fy)^2 = raiz44 - x^2 = 2raiz4 - x^2

Passo 4

O integral duplo vira
A = integralx=0^1integraly=0^4 2raiz4 - x^2;dy,dx
Como o integrando não depende de y, a gente integra em y primeiro e ganha um fator 4:
A = integral0^1 4cdot 2raiz4 - x^2;dx = 8 integral0^1 1raiz4 - x^2;dx

Passo 5

Agora usamos a dica com a=2 e u=x:
integral 1raiz4 - x^2,dx = arcsin!(x2) + C
Então
integral0^1 1raiz4 - x^2,dx = [arcsin!(tfracx2)]0^1 = arcsin!(tfrac12) - arcsin(0) = pi6
Multiplicando por 8:
A = 8 cdot pi6 = 4pi3

Resposta

A área da parte da superfície é 4pi3,.

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