Exercício 5 Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (.0.1) não é exata e que é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (.0.1).
(c) Encontre a solução de (.0.1) que satisfaz .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
e pede (a) mostrar que não é exata, mas que é um fator integrante, (b) encontrar a solução geral e (c) a solução com . Vamos usar o teste de exatidão e depois o conceito de fator integrante que dependa só de .
Passo 2
Escrevendo
calculemos
Como , a equação não é exata.
Passo 3
Proponha o fator integrante . Multiplicando a equação por obtemos
Agora defina
Verifique a exatidão:
logo a equação multiplicada por é exata.
Passo 4
Por exatidão, existe função potencial tal que
Integramos em :
once é “constante” de integração em relação a .
Agora impomos
Da igualdade vem , logo
Portanto
Phi(x,y)=-1x+x,e^y+lnl|yr|
Passo 5
A solução geral implícita vem de Phi(x,y)=C, isto é
-1x+x,e^y+lnl|yr|=C
Passo 6
Para achar a solução que satisfaz y(1)=1, plugue (x,y)=(1,1) em Phi=C: