Exercício 5 Considere a seguinte equação diferencial:
1x^3+e^yx+(e^y+1x y) y^prime=0
(a) Mostre que a equação diferencial (.0.1) não é exata e que mu(x)=x é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (.0.1).
(c) Encontre a solução de (.0.1) que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
l(tfrac1x^3+tfrace^yxr),dx ;+;l(e^y+tfrac1x yr),dy ;=;0
e pede (a) mostrar que não é exata, mas que mu(x)=x é um fator integrante, (b) encontrar a solução geral e (c) a solução com y(1)=1. Vamos usar o teste de exatidão e depois o conceito de fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y)=1x^3+e^yx, N(x,y)=e^y+1x y,
calculemos
partial Mpartial y =partialpartial yl(1x^3+e^yxr) =e^yx,
partial Npartial x =partialpartial xl(e^y+1x yr) =-1x^2y
Como partial Mpartial yneqpartial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 3

Proponha o fator integrante mu(x)=x. Multiplicando a equação por x obtemos
l(xMr),dx + l(xNr),dy = 0 Longrightarrow l(1x^2+e^yr)dx + l(xe^y+tfrac1yr)dy = 0
Agora defina
widetilde M(x,y)=1x^2+e^y, widetilde N(x,y)=x e^y+1y
Verifique a exatidão:
partial widetilde Mpartial y=e^y, partial widetilde Npartial x=e^y,
logo a equação multiplicada por x é exata.

Passo 4

Por exatidão, existe função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x =widetilde M(x,y)=1x^2+e^y
Integramos em x:
Phi(x,y) =integral!l(1x^2+e^yr),dx =-1x+x,e^y+h(y),
once h(y) é “constante” de integração em relação a x.
Agora impomos
partial Phipartial y =;x,e^y+h'(y) ;stackrel!=; widetilde N(x,y)=x,e^y+1y
Da igualdade vem h'(y)=1/y, logo
h(y)=lnl|yr|
Portanto
Phi(x,y)=-1x+x,e^y+lnl|yr|

Passo 5

A solução geral implícita vem de Phi(x,y)=C, isto é
-1x+x,e^y+lnl|yr|=C

Passo 6

Para achar a solução que satisfaz y(1)=1, plugue (x,y)=(1,1) em Phi=C:
-11+1cdot e^1+ln(1)=C Longrightarrow -1+e+0=C Longrightarrow C=e-1

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
-1x+x,e^y+lnl|yr|=C
A solução particular com ) y((1))(=1) é
-1x+x,e^y+lnl|yr|=e-1

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