Ache o resto da divisão:
de 3^10 cdot 42^5+6^8 por 5 .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
3^10cdot 42^5 ;+; 6^8
por 5.
O conteúdo necessário é Aritmética Modular: vamos reduzir cada base módulo 5 e usar propriedades de potências (como o Teorema de Euler, já que varphi(5)=4).

Passo 2

Calcular ,3^10bmod5.
Como varphi(5)=4 e gcd(3,5)=1, temos
3^4equiv1pmod5
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3^10=3^4cdot2+2=(3^4)^2cdot3^2equiv1^2cdot3^2equiv3^2equiv9equiv4pmod5

Passo 3

Calcular ,42^5bmod5.
Primeiro note que
42equiv2pmod5,
então
42^5equiv2^5=32equiv2pmod5

Passo 4

Combinar os resultados para o primeiro termo:
3^10cdot42^5equiv4cdot2=8equiv3pmod5

Passo 5

Calcular ,6^8bmod5.
Como
6equiv1pmod5,
temos
6^8equiv1^8=1pmod5

Passo 6

Somar os restos e reduzir módulo 5:
3^10cdot42^5+6^8equiv3+1=4pmod5

Resposta

O resto da divisão é 4.

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