Se n é um número inteiro e n^3-1 é primo, mostre que n=2.

Passo 1

O enunciado diz que n é um número inteiro e que n^3-1 é primo. O que vamos precisar é da fatoração de uma diferença de cubos e da definição de número primo (um inteiro maior que 1 que só admite como divisores 1 e ele mesmo).

Passo 2

Usamos a fatoração de diferença de cubos:
n^3-1 = (n-1),(n^2 + n + 1)

Passo 3

Para um produto de dois inteiros positivos ser primo, um dos fatores tem de ser igual a 1 (caso contrário o produto seria composto). Então temos duas possibilidades:
n-1 = 1 ou n^2+n+1 = 1

Passo 4

Analisando cada caso:
  1. Se n-1=1, então
n = 2
  1. Se n^2 + n + 1 = 1, então
n^2 + n = 0 Longrightarrow n(n+1)=0 Longrightarrow n=0;ou;n=-1

Passo 5

Verificamos a primalidade em cada valor:
  • Para n=2, tem-se 2^3-1=7, que é primo.
  • Para n=0, tem-se 0^3-1=-1, que não é primo (primos são maiores que 1).
  • Para n=-1, tem-se (-1)^3-1=-2, que também não se considera primo positivo.
Logo, a única solução inteira que faz n^3-1 ser primo é n=2.

Resposta

n=2.

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