Se
é um número inteiro e
é primo, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um número inteiro e que
é primo. O que vamos precisar é da fatoração de uma diferença de cubos e da definição de número primo (um inteiro maior que 1 que só admite como divisores 1 e ele mesmo).
Passo 2
Usamos a fatoração de diferença de cubos:
Passo 3
Para um produto de dois inteiros positivos ser primo, um dos fatores tem de ser igual a 1 (caso contrário o produto seria composto). Então temos duas possibilidades:
Passo 4
Analisando cada caso:
- Se
, então
- Se
, então
Passo 5
Verificamos a primalidade em cada valor:
- Para
, tem-se , que é primo. - Para
, tem-se , que não é primo (primos são maiores que 1). - Para
, tem-se , que também não se considera primo positivo.
Logo, a única solução inteira que faz
ser primo é
.