Existe alguma reta paralela à reta r: \mathrm{X}=(0,1,1)+\lambda(1,-1,-1), contida no plano \pi: x-2 y+3 z-1=0 ? Por qué? E paralela ao eixo das abscissas?

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r: \mathbf X = (0,1,1) + \lambda\,(1,-1,-1)
e o plano
\pi: x - 2y + 3z - 1 = 0.
Queremos saber se existe alguma reta, paralela a r, que esteja contida em \pi, e depois fazer a mesma pergunta para retas paralelas ao eixo das abscissas (direção (1,0,0)).

Passo 2

Uma reta de direção \mathbf v está contida num plano de normal \mathbf n se, e somente se, \mathbf v for ortogonal a \mathbf n. Em termos de produto escalar:
\mathbf v \text{ paralela a }\pi \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf n\cdot \mathbf v = 0.

Passo 3

O vetor normal de \pi é
\mathbf n = (1,-2,3).
Para a reta r, a direção é
\mathbf v_1 = (1,-1,-1).
Calculamos
\mathbf n \cdot \mathbf v_1 = 1\cdot1 + (-2)\cdot(-1) + 3\cdot(-1) = 1 + 2 - 3 = 0.
Logo \mathbf v_1 é ortogonal a \mathbf n, ou seja, \mathbf v_1 é paralela ao plano \pi.

Passo 4

Como \mathbf v_1 é paralelo a \pi, qualquer ponto P em \pi gera uma reta P + t\,\mathbf v_1 contida em \pi. Por exemplo, escolhemos P=(1,0,0) porque
1 - 2\cdot0 + 3\cdot0 - 1 = 0.
Assim uma reta paralela a r em \pi é
\ell: \mathbf X = (1,0,0) + t\,(1,-1,-1).

Passo 5

Para retas paralelas ao eixo das abscissas, a direção é
\mathbf v_2 = (1,0,0).
Calculamos
\mathbf n \cdot \mathbf v_2 = 1\cdot1 + (-2)\cdot0 + 3\cdot0 = 1 \neq 0.
Como o produto escalar não é zero, \mathbf v_2 não é ortogonal a \mathbf n. Logo não há reta de direção (1,0,0) inteiramente contida em \pi.

Resposta

Sim, existem retas em \pi paralelas a r, pois o vetor direcional de r é ortogonal ao normal de \pi.
Não, não existe reta em \pi paralela ao eixo das abscissas, pois seu vetor direcional não é ortogonal ao normal de \pi.

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