Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z dado por:
l gamma x+de<a y+z=3 gamma x+2 y+de<a z=5 y+de<a z=gamma
Encontre uma forma escalonada do sistema que permita analisar os casos descritos abaixo. Determine para quais valores de gamma e de<a o sistema de equações dado satisfaz as seguintes condições:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com as variáveis x , y e z :
l gamma x+de<a y+z=3 gamma x+2 y+de<a z=5 y+de<a z=gamma
Nosso objetivo é colocar esse sistema em forma escalonada. Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, especificamente a eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema para analisar os casos dependendo dos valores de gamma e de<a .

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
gamma & de<a & 1 & | & 3 gamma & 2 & de<a & | & 5 0 & 1 & de<a & | & gamma
Aqui, cada linha representa uma equação, e as colunas correspondem aos coeficientes de x , y , z e o termo independente, respectivamente.

Passo 3

Nosso objetivo é zerar o coeficiente abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda:
R2 = R2 - R1
Fazendo essa operação:
gamma & de<a & 1 & | & 3 0 & 2 - de<a & de<a - 1 & | & 2 0 & 1 & de<a & | & gamma

Passo 4

Agora, queremos zerar o coeficiente abaixo do 1 na segunda coluna da terceira linha. Para isso, fazemos:
R3 = R3 - ( 12 - de<a ) times R2
Isso nos ajuda a eliminar o y da terceira equação, simplificando ainda mais o sistema.

Passo 5

Após realizar a operação anterior, a matriz escalonada fica:
gamma & de<a & 1 & | & 3 0 & 2 - de<a & de<a - 1 & | & 2 0 & 0 & de<a - (de<a - 1)2 - de<a & | & gamma - 22 - de<a
Simplificando o terceiro elemento da terceira linha:
de<a - de<a - 12 - de<a = de<a (2 - de<a) - (de<a - 1)2 - de<a = 2de<a - de<a^2 - de<a + 12 - de<a = de<a - de<a^2 + 12 - de<a

Passo 6

Agora, analisamos o sistema escalonado para determinar para quais valores de gamma e de<a ele tem solução. Observamos que a última linha da matriz escalonada nos dá uma equação para z :
de<a - de<a^2 + 12 - de<a z = gamma - 22 - de<a
Para que o sistema tenha solução única, o coeficiente de z não pode ser zero. Portanto:
de<a - de<a^2 + 1 neq 0 e 2 - de<a neq 0
Resolvendo de<a - de<a^2 + 1 = 0 :
-de<a^2 + de<a + 1 = 0 implies de<a^2 - de<a - 1 = 0
As soluções dessa equação são:
de<a = 1 pm raiz52
Então, para de<a neq 1 pm raiz52 e de<a neq 2 , o sistema terá uma solução única.

Resposta

Para o sistema ter solução única, os valores de gamma e de<a devem satisfazer de<a neq 2 e de<a neq 1 pm raiz52 .

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