Ache a(s) equação(ões) do(s) plano(s) ortogonal(is) ao vetor (1,1,1), que distam \sqrt{3} do ponto (2, 2, 2).

Passo 1

O enunciado pede os planos ortogonais ao vetor (1,1,1) que distam \sqrt{3} do ponto (2,2,2). O conteúdo principal aqui é a equação de um plano em \mathbb{R}^3 e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Um plano ortogonal a (1,1,1) tem como vetor normal \mathbf{n}=(1,1,1). A forma geral da equação desse plano é
x + y + z + d = 0
onde d é uma constante a determinar.

Passo 3

A distância de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) ao plano x+y+z+d=0 é
\mathrm{dist}(P_0,\text{plano}) = \frac{\bigl|1\cdot x_0 + 1\cdot y_0 + 1\cdot z_0 + d\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{\bigl|x_0+y_0+z_0+d\bigr|}{\sqrt{3}}.

Passo 4

No nosso caso P_0=(2,2,2) e queremos que essa distância seja \sqrt{3}. Logo
\frac{\bigl|2+2+2 + d\bigr|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|6 + d\bigr| = 3.
Isso dá duas soluções para d:
6 + d = 3 \quad\Longrightarrow\quad d = -3,
6 + d = -3 \quad\Longrightarrow\quad d = -9.

Resposta

As equações dos planos são
x + y + z - 3 = 0 \quad\text{e}\quad x + y + z - 9 = 0.

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