Calcular a distância da reta r à reta t, onde r é a reta que passa pelo ponto A(-1,2,3) e é paralela à reta s: \frac{-x-1}{2}=\frac{y-5}{3}=\frac{1-z}{2} e t: X=(1,1,1)+\lambda(-4,6,-4), \lambda \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3. A reta r passa por A(-1,2,3) e é paralela à reta s dada em forma simétrica. A reta t está em forma paramétrica. Para determinar a distância entre retas paralelas, basta calcular a distância de um ponto de uma reta à outra reta usando a fórmula de distância de ponto a reta em 3D.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de r a partir da reta s. A forma simétrica de s é
\frac{-x-1}{2} \;=\;\frac{y-5}{3}\;=\;\frac{1-z}{2}.
Reescrevendo cada coordenada em função de um parâmetro t, obtemos
x = -2t -1,\quad y = 3t +5,\quad z = 1 -2t,
logo o vetor diretor de s (e de r) é
\mathbf{u} = (-2,\,3,\,-2).
A reta t é
X = (1,1,1) + \lambda\,(-4,6,-4),
logo seu vetor diretor é
\mathbf{v} = (-4,\,6,\,-4).

Passo 3

Observamos que \mathbf{v}=2\,\mathbf{u}, então as retas são paralelas. A distância entre retas paralelas é a distância de A à reta t. Seja P_0=(1,1,1) um ponto em t. O vetor \overrightarrow{P_0A} é
\overrightarrow{P_0A} = A - P_0 = (-1-1,\;2-1,\;3-1) = (-2,\,1,\,2).
A fórmula da distância de um ponto à reta em \mathbb{R}^3 é
d = \frac{\big\|\mathbf{v}\times \overrightarrow{P_0A}\big\|}{\|\mathbf{v}\|}.
Calculamos o produto vetorial:
\mathbf{v}\times \overrightarrow{P_0A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -4 & 6 & -4\\\\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (16,\,16,\,8).
O módulo desse vetor é
\|\,(16,16,8)\,\| = \sqrt{16^2+16^2+8^2} = \sqrt{576} = 24.
E o módulo de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-4)^2+6^2+(-4)^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}.
Portanto,
d = \frac{24}{2\sqrt{17}} = \frac{12}{\sqrt{17}}.

Resposta

\displaystyle \frac{12}{\sqrt{17}}

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