São dadas as equaçōes
\frac{2 x-1}{3}=\frac{1-y}{2}=z+1
  • Mostre que elas representam uma reta r.
  • Elas são equações na forma simétrica de r ? Caso não sejam, passe-as para a forma simétrica.
  • Exiba um ponto e um vetor diretor da reta.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações
\frac{2x-1}{3}=\frac{1-y}{2}=z+1
e pede para mostrar que elas representam uma reta r, verificar se já estão na forma simétrica e, se não estiverem, escrever essa forma, além de exibir um ponto e um vetor diretor de r. Para isso, vamos usar o método de parâmetro comum, definindo cada razão igual a um parâmetro t, o que caracteriza a forma paramétrica de uma reta no espaço.

Passo 2

Definimos
\frac{2x-1}{3}=\frac{1-y}{2}=z+1=t.
Então
2x-1=3t,\quad 1-y=2t,\quad z+1=t.
Resolvendo em função de t:
x=\frac{3t+1}{2}, \quad y=1-2t, \quad z=t-1.
Isso mostra que os pontos (x,y,z) variam linearmente com t, logo são todos os pontos de uma reta.

Passo 3

Para escrever na forma simétrica padrão, queremos algo do tipo
\frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}.
Da parametrização, vemos que um ponto de partida é
x_0=\frac{1}{2},\quad y_0=1,\quad z_0=-1
e o vetor diretor extraído dos coeficientes de t é
\bigl(v_x,v_y,v_z\bigr)=\Bigl(\tfrac{3}{2},\,-2,\,1\Bigr).
Assim, a forma simétrica é
\frac{x-\tfrac12}{\tfrac32}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}.

Passo 4

Escolhendo os valores mais simples, podemos multiplicar o vetor diretor por 2 e obter
\mathbf{v}=(3,\,-4,\,2).
E o ponto já identificado na reta é
P\bigl(\tfrac12,\,1,\,-1\bigr).

Resposta

Elas representam uma reta r.
Na forma simétrica:
\frac{x-\tfrac12}{\tfrac32}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}.
Um ponto em r é P\bigl(\tfrac12,1,-1\bigr) e um vetor diretor é \mathbf{v}=(3,-4,2).

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