Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
^d u d t, u=x^2+2 x y+y^2, x=t cos t, y=t sin t.

Passo 1

O enunciado define
u = x^2 + 2xy + y^2,
com
x(t)=tcos t, y(t)=tsin t,
e pede dudt. Vamos usar dois métodos:
  1. substituição direta, escrevendo u em termos de t e depois diferenciando;
  2. regra da cadeia para funções de várias variáveis, que diz
dudt = partial upartial x,dxdt + partial upartial y,dydt

Passo 2

Método 1 (substituição direta): escrevemos
u(t) = [tcos t]^2 + 2,[tcos t],[tsin t] + [tsin t]^2
e simplificamos a soma dos quadrados e do termo misto.

Passo 3

Simplificando u(t) temos
u(t) = t^2l(cos^2 t + 2sin tcos t + sin^2 tr) = t^2l(1 + sin 2tr)
Derivando em relação a t:
dudt = 2tl(1 + sin 2tr) + t^2cdot 2cos 2t = 2tl(1 + sin 2t + tcos 2tr)

Passo 4

Método 2 (regra da cadeia): primeiro calculamos as derivadas parciais de u(x,y):
ux = 2x + 2y, uy = 2x + 2y = 2(x+y)
Em seguida
dxdt = cos t - tsin t, dydt = sin t + tcos t
Logo
dudt = ux,dxdt + uy,dydt = 2(x+y)l[(cos t - tsin t)+(sin t + tcos t)r]
Como x+y=t(cos t+sin t) e somando as derivadas de x e y aparece cos t+sin t + t(cos t-sin t), obtemos
dudt = 2t(cos t+sin t)l[cos t+sin t + t(cos t-sin t)r] = 2tl(1 + sin2t + tcos2tr),
o mesmo resultado do método 1.

Resposta

dudt = 2tl(1 + sin 2t + tcos 2tr)

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