Calcule e^sinh (x) até a terceira ordem.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de até a terceira ordem de
e^sinh(x)
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Maclaurin de sinh(x) e de e^y, além da composição de séries.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Maclaurin de sinh(x) é
sinh(x)=x+x^33!+x^55!+cdots
Para obter termos até a ordem x^3, truncamos em
sinh(x)=x+x^36+O(x^5)

Passo 3

Agora escrevemos
e^sinh(x)=expl(x+tfracx^36+O(x^5)r) =expl(xr),expl(tfracx^36+O(x^5)r)

Passo 4

Expandimos separadamente cada exponencial até x^3:
exp(x)=1+x+x^22+x^36+O(x^4),
expl(tfracx^36r)=1+x^36+O(x^6)
Multiplicando e coletando termos até x^3:
l(1+x+tfracx^22+tfracx^36r)l(1+tfracx^36r) =1+x+x^22 +l(x^36+x^36r) +O(x^4) =1+x+x^22+x^33+O(x^4)

Resposta

e^sinh(x)=1+x+x^22+x^33+O(x^4)

Exercícios relacionados