Esboce as curvas dadas em coordenadas polares:
r=theta / 2,0 <= theta <= 12 pi

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
r = theta2, 0 <= theta <= 12pi
O conteúdo aqui é a noção de espiral de Arquimedes, que se caracteriza por um crescimento linear de r em função de theta.

Passo 2

Reconhecemos que toda curva do tipo
r = a,theta
é uma espiral de Arquimedes. No nosso caso a=tfrac12, logo
r = tfrac12,theta
Isso implica que, a cada volta completa ( De<atheta=2pi), o raio cresce de forma constante.

Passo 3

Vamos marcar pontos correspondentes a voltas inteiras para orientar o esboço. Para n=0,1,2,dots,6:
theta = 2pi n ;Longrightarrow; r = tfrac12,(2pi n)=pi n
Isso nos dá os pares polares
( r,theta ) = (0,0),;(pi,2pi),;(2pi,4pi),;(3pi,6pi),;(4pi,8pi),;(5pi,10pi),;(6pi,12pi)

Passo 4

Entre duas voltas consecutivas ( theta aumenta de 2pi para 2pi), o raio aumenta sempre em
De<a r = pi
Isso significa que as “braças” da espiral ficam igualmente espaçadas radialmente por distância pi.

Passo 5

Para esboçar:
  • Partimos da origem em theta=0.
  • à medida que theta varia de 0 a 12pi, desenhamos uma espiral que faz 6 voltas completas ao redor da origem.
  • Cada volta está deslocada para fora uma distância radial de pi em relação à volta anterior.

Resposta

O gráfico é uma espiral de Arquimedes r=tfrac12theta com 6 voltas, cada volta afastada da anterior por distância radial pi.

Exercícios relacionados