Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
d wd x, w=u sin (v), u=x^2+y^2, v=x y
(Sol d wd x=2 x sin (x y)+y(x^2+y^2) cos (x y))

Passo 1

Temos a função w = u sin(v), em que u = x^2 + y^2 e v = x y. O objetivo é encontrar a derivada total dwdx. Vamos usar conceitos de regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Método 1 (usar diretamente as definições de u e v): aplicamos a regra do produto em w = u(x),sin(v(x)) e depois a regra da cadeia em sin(v):
Calculamos primeiro
dudx = 2x e dvdx = y,
então
dwdx = dudx,sin(v) + u,cos(v),dvdx
Substituindo, fica
dwdx = 2xsin(xy) + (x^2+y^2)cos(xy),y

Passo 3

Método 2 (expansão direta): reescrevemos w como
w = (x^2 + y^2)sin(xy) = x^2sin(xy) + y^2sin(xy)
Derivando cada termo:
  • Para x^2sin(xy), regra do produto dá
    2xsin(xy) + x^2cos(xy),y.
  • Para y^2sin(xy), como y^2 é constante, dá
    y^2cos(xy),y.
    Somando os dois resultados obtemos o mesmo valor.

Passo 4

Reunindo os termos semelhantes, notamos que x^2cos(xy),y + y^2cos(xy),y = y(x^2+y^2)cos(xy). Portanto, a derivada final é

Resposta

dwdx = 2xsin(xy) + y(x^2 + y^2)cos(xy)

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