Questão 4
Provar que existe uma função
, definida num intervalo
, tal que para todo
, o par
seja solução da equação
. Calcular o polinômio de Taylor de grau 2 da função
.
Passo 1
Temos a equação implícita F(x,y)=\cos(x)+\sin(y)+x+y-1=0. O conteúdo é o Teorema da Função Implícita e desenvolvimento em série de Taylor. Vamos precisar verificar as hipóteses do teorema em (x₀,y₀)=(0,0) e depois achar o polinômio de Taylor de φ em torno de x=0.
Passo 2
Calculo F(0,0)=\cos0+\sin0+0+0-1=1+0-1=0 e a derivada parcial F_y(x,y)=\frac{∂}{∂y}[\sin(y)+y]=\cos(y)+1. Em y=0 temos F_y(0,0)=2≠0, logo pelo Teorema da Função Implícita existe φ definida perto de 0 com φ(0)=0 e F(x,φ(x))=0.
Passo 3
Para achar o polinômio de grau 2, escrevo séries: \cos x=1-\tfrac{x2}{2}+O(x3), \sin(φ)=φ+O(φ^3). Suponho φ(x)=a_1x+a_2x2+O(x3) e substituo em F(x,φ(x))=0.
Passo 4
Substituindo e ignorando termos O(x^3):
Isso gera
Igualando coeficientes a zero vem 1+2a_1=0 ⇒ a_1=-\tfrac12 e 2a_2-\tfrac12=0 ⇒ a_2=\tfrac14.
Passo 5
Com isso, os coeficientes do polinômio de Taylor de φ em torno de x=0 são a_1=-1/2 e a_2=1/4.
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 2 de φ é
.