Questão 4

Provar que existe uma função varphi, definida num intervalo I ni 0, tal que para todo x in I, o par (x, varphi(x)) seja solução da equação cos (x)+sen(y)+x+y-1=0. Calcular o polinômio de Taylor de grau 2 da função varphi.

Passo 1

Temos a equação implícita F(x,y)=\cos(x)+\sin(y)+x+y-1=0. O conteúdo é o Teorema da Função Implícita e desenvolvimento em série de Taylor. Vamos precisar verificar as hipóteses do teorema em (x₀,y₀)=(0,0) e depois achar o polinômio de Taylor de φ em torno de x=0.

Passo 2

Calculo F(0,0)=\cos0+\sin0+0+0-1=1+0-1=0 e a derivada parcial F_y(x,y)=\frac{∂}{∂y}[\sin(y)+y]=\cos(y)+1. Em y=0 temos F_y(0,0)=2≠0, logo pelo Teorema da Função Implícita existe φ definida perto de 0 com φ(0)=0 e F(x,φ(x))=0.

Passo 3

Para achar o polinômio de grau 2, escrevo séries: \cos x=1-\tfrac{x2}{2}+O(x3), \sin(φ)=φ+O(φ^3). Suponho φ(x)=a_1x+a_2x2+O(x3) e substituo em F(x,φ(x))=0.

Passo 4

Substituindo e ignorando termos O(x^3):
(1-tfracx^22)+(a1x+a2x^2)+x+(a1x+a2x^2)-1=0
Isso gera
x(1+2a1)+x^2(2a2-tfrac12)=0
Igualando coeficientes a zero vem 1+2a_1=0 ⇒ a_1=-\tfrac12 e 2a_2-\tfrac12=0 ⇒ a_2=\tfrac14.

Passo 5

Com isso, os coeficientes do polinômio de Taylor de φ em torno de x=0 são a_1=-1/2 e a_2=1/4.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 de φ é -tfracx2+tfracx^24.

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