Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
Se z=e^x sin y, x=s t^2 y=s^2 t, determine de e de
(Sol de

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos a função composta z=e^xsin y com x(s,t)=s,t^2 e y(s,t)=s^2t. O objetivo é calcular as derivadas parciais partial zpartial s e partial zpartial t. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e, em seguida, conferir o resultado fazendo a substituição direta seguida de produto e cadeia.

Passo 2

No primeiro método, começamos calculando as derivadas parciais internas. Para z(x,y)=e^xsin y temos
zx=e^xsin y, zy=e^xcos y

Passo 3

Para as funções de troca x(s,t)=s,t^2 e y(s,t)=s^2t obtemos
xs=t^2, xt=2s t, ys=2s t, yt=s^2

Passo 4

Ainda no primeiro método, aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial s=zx,xs+zy,ys,partial zpartial t=zx,xt+zy,yt

Passo 5

Substituindo as derivadas internas e as expressões de x e y em função de s,t, chegamos a
partial zpartial s=t^2e^s t^2sin(s^2t)+2s t,e^s t^2cos(s^2t),
partial zpartial t=2s t,e^s t^2sin(s^2t)+s^2e^s t^2cos(s^2t)

Passo 6

No segundo método, fazemos a substituição direta em z=e^xsin y, ou seja,
z(s,t)=e^s t^2sin(s^2t)

Passo 7

Para partial zpartial s, enxergamos z(s,t)=u(s)v(s) com u(s)=e^s t^2 e v(s)=sin(s^2t). Calculamos
u'(s)=t^2e^s t^2, v'(s)=2s tcos(s^2t)

Passo 8

Pela regra do produto,
partial zpartial s=u'(s)v(s)+u(s)v'(s)=t^2e^s t^2sin(s^2t)+2s t,e^s t^2cos(s^2t)

Passo 9

Para partial zpartial t, agora vemos z(s,t)=u(t)v(t) com u(t)=e^s t^2 e v(t)=sin(s^2t). Derivamos
u'(t)=2s t,e^s t^2, v'(t)=s^2cos(s^2t)

Passo 10

Aplicando a regra do produto em relação a t,
partial zpartial t=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=2s t,e^s t^2sin(s^2t)+s^2e^s t^2cos(s^2t)

Resposta

partial zpartial s=t^2e^s t^2sin(s^2t)+2s t,e^s t^2cos(s^2t),partial zpartial t=2s t,e^s t^2sin(s^2t)+s^2e^s t^2cos(s^2t)

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