Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
Se
, determine
e
Se
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos a função composta
com
e
. O objetivo é calcular as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e, em seguida, conferir o resultado fazendo a substituição direta seguida de produto e cadeia.
Passo 2
No primeiro método, começamos calculando as derivadas parciais internas. Para
temos
Passo 3
Para as funções de troca
e
obtemos
Passo 4
Ainda no primeiro método, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo as derivadas internas e as expressões de
e
em função de
, chegamos a
Passo 6
No segundo método, fazemos a substituição direta em
, ou seja,
Passo 7
Para
, enxergamos
com
e
. Calculamos
Passo 8
Pela regra do produto,
Passo 9
Para
, agora vemos
com
e
. Derivamos
Passo 10
Aplicando a regra do produto em relação a
,