Questão 3

Sejam U subset R^n e V subset R^n abertos e psi in C^infty(U, V). Sejam f in C^infty(U, R) e g in C^infty(V, R) tais que g. Suponhamos que Jpsi(x) não se anula. Calcular psi (onde x é a matriz jacobiana de em ).

Passo 1

Temos uma aplicação suave psi: U subset R^n to V subset R^n, funções suaves f: UtoR e g: VtoR não nula, e a relação de pull-back dada por
psi^*l(g,dx1wed>=cdotswed>= dxnr)=f,dx1wed>=cdotswed>= dxn
Queremos determinar det(Jpsi(x)).

Passo 2

Lembramos que o pull-back é linear e satisfaz
psi^*(g,omega)=(gcircpsi),psi^*(omega)
para qualquer forma omega. Aplicando com omega=dx1wed>=cdotswed>= dxn obtemos
psi^*l(g,dx1wed>=cdotswed>= dxnr)=(gcircpsi),psi^*(dx1wed>=cdotswed>= dxn)

Passo 3

Do fato padrão sobre pull-back de forma volume, vale
psi^*(dx1wed>=cdotswed>= dxn)=detl(Jpsi(x)r),dx1wed>=cdotswed>= dxn

Passo 4

Igualando as expressões e comparando com f,dx1wed>=cdotswed>= dxn, temos
(gcircpsi)(x),detl(Jpsi(x)r)=f(x)
Solução para o determinante da Jacobiana segue isolando-o acima.

Resposta

detl(Jpsi(x)r)=f(x)gl(psi(x)r).

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