Determine quem são os zeros de cada uma das funções e a respectiva ordem:
f(z)=z-sen(z);

Passo 1

A questão pede para achar os zeros da função f(z)=z−sen(z) e suas ordens. Isso envolve teoria de zeros de funções analíticas e multiplicidade. Vamos usar a série de Taylor de sen(z) e a definição de multiplicidade de zero.

Passo 2

Vamos escrever a série de Taylor de sen(z) em torno de z=0:
sen(z)=z-z^33!+z^55!-cdots
Então
f(z)=z-sen(z)=z-l(z-z^36+z^5120-cdotsr)
Ao simplificar, sobra:
f(z)=z^36-z^5120+cdots

Passo 3

Na expansão vemos que os termos de ordem z e z^2 desaparecem, e o primeiro termo não-nulo é z^3/6. Pela definição de multiplicidade, z=0 é um zero de ordem 3. Não há outras soluções elementares de sen(z)=z no real, e os eventuais zeros complexos não aparecem em forma fechada.

Passo 4

Concluindo, o único zero “acessível” de f(z) em forma fechada é z=0, e sua multiplicidade é 3.

Resposta

O único zero explicitamente determinável é z=0, com ordem (multiplicidade) 3.

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