Calcule a integral integralC F cdot d r onde F=(3 x-y) i+x j ao longo de dois caminhos diferentes:
C1 parametrizado por 0 <= t <= 1 com .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r onde vec F=(3x - y),vec i + x,vec j ao longo de C1 dado por l(t, t^2r), com 0<= t<=1. O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial, e vamos precisar parametrizar a curva, achar dvec r, e então integrar o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos C1 como vec r(t)=(x(t),y(t))=(t,t^2). Assim, a diferencial de arco é dvec r=vec r,'(t),dt. Calculando a derivada, temos
vec r,'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=(1,2t),
logo,

Passo 3

Em seguida, substituímos na expressão do campo: vec Fl(vec r(t)r)=(3x(t)-y(t),,x(t))=(3t - t^2,,t). Agora o produto escalar é
$$\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot\vec r,

Passo 4

(t)=(3t - t^2)\cdot1 + t\cdot(2t)=3t - t^2 +2t^2=3t + t^2.$$

Passo 5

Por fim, integramos de t=0 até t=1:
integral0^1 l(3t + t^2r),dt= [tfrac3t^22+tfract^33]0^1=32+13=9+26=116

Resposta

116

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