Calcule a integral onde F=(3 x-y) i+x j ao longo de dois caminhos diferentes: C1 parametrizado por 0 <= t <= 1 com .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r onde vec F=(3x - y),vec i + x,vec j ao longo de C1 dado por l(t, t^2r), com 0<= t<=1. O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial, e vamos precisar parametrizar a curva, achar dvec r, e então integrar o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, parametrizamos C1 como vec r(t)=(x(t),y(t))=(t,t^2). Assim, a diferencial de arco é dvec r=vec r,'(t),dt. Calculando a derivada, temos
vec r,'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=(1,2t),
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Passo 3
Em seguida, substituímos na expressão do campo: vec Fl(vec r(t)r)=(3x(t)-y(t),,x(t))=(3t - t^2,,t). Agora o produto escalar é