Calcule a integral de linha
integralC x d x+z d y-y d z onde C é o círculo de raio 3 no plano y z com centro na oritem e com orientação no sentido anti-horário quando visto a partir do eixo x positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha C, onde yz é o círculo de raio 3 no plano +x, centrado na origem, com orientação anti-horária quando visto a partir do eixo . O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e vamos usar parametrização de curvas.

Passo 2

Como o círculo está no plano x=0 e tem raio 3 no plano yz, escolhemos a parametrização (satisfazendo a orientação indicada):
x(t)=0, y(t)=3sin(t), z(t)=3cos(t), tin[0,2pi]
Aqui, no instante t=0, temos (y,z)=(0,3) e, para t aumentando, o ponto se move no sentido anti-horário visto do eixo +x.

Passo 3

Calculamos as diferenciais:
dx=0, dy=3cos(t),dt, dz=-3sin(t),dt
Substituindo em
integralC x,dx+z,dy-y,dz só resta o trecho
integral0^2pil(z,dy-y,dzr) =integral0^2pil(3cos(t)cdot3cos(t)-3sin(t)cdot(-3sin(t))r)dt
Simplificando,
3cos(t)cdot3cos(t)-3sin(t)cdot(-3sin(t)) =9cos^2(t)+9sin^2(t) =9

Passo 4

Fica então
integral0^2pi9,dt=9l[ tr]0^2pi=9cdot2pi=18pi

Resposta

18\pi

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