Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
z=x^2 y+3 x y^4, x=sin (2 t), y=cos (t), t=0

Passo 1

O enunciado pede dfracdzdt em t=0 para
z = x^2y + 3xy^4, x=sin(2t), y=cos(t)
Vamos usar dois métodos:
– Método 1: regra da cadeia com derivadas parciais.
– Método 2: substituição direta e derivação de z(t).

Passo 2

Pela regra da cadeia vale
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt
Primeiro calculamos partial z/partial x e partial z/partial y.

Passo 3

Das expressões temos
partial zpartial x =2x,y + 3,y^4, partial zpartial y =x^2 + 12,x,y^3
E também
dxdt=2cos(2t), dydt=-sin(t)

Passo 4

Em t=0 obtemos
x(0)=0, y(0)=1, partial zpartial x|0=3, partial zpartial y|0=0, dxdt|0=2, dydt|0=0
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dzdt|t=0 =3cdot2 + 0cdot0 = 6

Passo 5

No método 2 escrevemos diretamente
z(t)=sin^2(2t),cos(t) +3,sin(2t),cos^4(t),
e derivamos termo a termo.

Passo 6

Para o primeiro termo sin^2(2t)cos(t):
ddtl[sin^2(2t)cos(t)r] =4sin(2t)cos(2t)cos(t)-sin(t)sin^2(2t),
que em t=0 vale 0.
Para o segundo termo 3sin(2t)cos^4(t):
ddtl[3sin(2t)cos^4(t)r] =3l(2cos(2t)cos^4(t) -4sin(2t)cos^3(t)sin(t)r),
que em t=0 vale 3cdot2=6.
Somando as duas partes dá
dzdt|t=0=6

Resposta

dzdt|t=0=6.

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