Resolva o PVI usando Laplace
y^prime prime-6 y^prime+9 y=0
y(0)=0
y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace! Basicamente, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 6y' + 9y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 0
y'(0) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace aplicadas a derivadas. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de y'' é:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E para y' :
Ly' = s Y(s) - y(0)
E para y :
Ly = Y(s)
Onde Y(s) é a transformada de Laplace de y(t) .

Passo 3

Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' - 6Ly' + 9Ly = 0
Substituindo as transformadas:
[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] - 6[s Y(s) - y(0)] + 9 Y(s) = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 :
[s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1] - 6[s Y(s) - 0] + 9 Y(s) = 0
Simplificando:
s^2 Y(s) - 1 - 6s Y(s) + 9 Y(s) = 0

Passo 5

Vamos organizar os termos com Y(s) juntos:
(s^2 - 6s + 9) Y(s) - 1 = 0
Então:
(s^2 - 6s + 9) Y(s) = 1

Passo 6

Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = 1s^2 - 6s + 9

Passo 7

Vamos fatorar o denominador:
s^2 - 6s + 9 = (s - 3)^2
Então:
Y(s) = 1(s - 3)^2

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para Y(s) . Sabemos que:
L^-11(s - a)^2 = t e^a t
No nosso caso, a = 3 , então:
y(t) = t e^3 t

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = t , e^3 t

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