Resolva o PVI usando Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace! Basicamente, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace aplicadas a derivadas. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é:
E para
:
E para
:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos organizar os termos com
juntos:
Então:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Vamos fatorar o denominador:
Então:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Resposta
A solução do problema é: