Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
a)
b)
c)
d)
lim x 0 raizx
e)
lim x 1 |x-1|x-1
f)
lim x 1 f(x)-f(1)x-1 em que f(x)= x+1 & se x >= 1 2 x & se x<1
g)
lim x 2^+ x^2-2 x+1x-1
h)
lim x 3 |x-1|x-1
i)
lim x 1 f(x)-f(1)x-1 em que f(x)= x^2 & se x <= 1 2 x-1 & se x>1
j)
lim x 2^- g(x)-g(2)x-2 em que g(x)= x & se x >= 2 x^22 & se x<2
k)
lim x 2^+ g(x)-g(2)x-2 sendo g a função do item (j) çã
l)
lim x 2 g(x)-g(2)x-2 em que g é a função do item (j) éçã
Passo 1
O enunciado pede para calcular vários limites, alguns unilaterais e outros bilaterais, envolvendo valor absoluto e quocientes de diferença (caso de derivada de função definida por partes). O conteúdo necessário é:
– Saber reescrever |x-1| em função de x-1 segundo o sinal de x-1.
– Para cada limite uniteral, verificar em qual ramo de definição estamos.
– Para quocientes f(x)-f(a)x-a, interpretar como derivada em a pela direita e/ou esquerda quando f é piecewise.
Passo 2
a) Para xto1^+ temos x>1 logo x-1>0 e
|x-1|=x-1,
então
|x-1|x-1=x-1x-1=1
e
limxto1^+|x-1|x-1=1
Passo 3
b) Para xto1^- temos x<1 logo x-1<0 e
|x-1|=-(x-1),
então
|x-1|x-1=-(x-1)x-1=-1
e
limxto1^-|x-1|x-1=-1
Passo 4
c) Aqui
f(x)= x+1,&x>=1, 2x,&x<1,
em x=1 usamos o ramo x>=1 para f(1)=2. Para xto1^+ vale f(x)=x+1, logo
f(x)-f(1)x-1=(x+1)-2x-1=x-1x-1=1
e
limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1
Passo 5
d) A função raizx só está definida para x>=0. Ao tomarmos xto0 pelo domínio, temos
limxto0^+raizx=raiz0=0
Como não existe x<0 no domínio, entendemos limxto0raizx=0.
Passo 6
e) Para xto1 o limite bilateral de |x-1|x-1 exige que os limites laterais coincidam. Mas vimos que
limxto1^+|x-1|x-1=1, limxto1^-|x-1|x-1=-1
Como são diferentes, o limite bilateral não existe.
Passo 7
f) Mesma função do item (c). Tem-se
limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1, limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2,
pois para x<1 vale f(x)=2x e
2x-2x-1=2
Como derivada pela direita e pela esquerda diferem, o limite não existe.
Passo 8
g) Note que
x^2-2x+1=(x-1)^2,
então para xto2^+
x^2-2x+1x-1=(x-1)^2x-1=x-1
e
limxto2^+(x-1)=1
Passo 9
h) Para xto3 estamos sempre em x>1, logo |x-1|=x-1 e
|x-1|x-1=1
tanto pela esquerda quanto pela direita. Portanto
limxto3|x-1|x-1=1
Passo 10
i) Agora
f(x)= x^2,&x<=1, 2x-1,&x>1
Em x=1 vale f(1)=1. Para xto1^-
x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1to2,
e para xto1^+
(2x-1)-1x-1=2x-2x-1=2x-1x-1=2
Como ambos tendem a 2, o limite existe e vale 2.
Passo 11
j) Definida por
g(x)= x,&x>=2, tfracx^22,&x<2
Em x=2 usamos g(2)=2. Para xto2^- vale o ramo x<2: