Resolva as equações diferenciais de Riccati a seguir.
y^prime=x^2+yx-y^2 com y1=x

Passo 1

Neste exercício vamos resolver a equação de Riccati y' = x^2 + yx - y^2 sabendo que uma solução particular é y1(x)=x. O conteúdo é a técnica de transformar uma Riccati em uma equação linear usando a substituição baseada em uma solução particular.

Passo 2

Para aproveitar y1, fazemos a substituição y(x)=y1(x)+tfrac1v(x)=x+tfrac1v. Calculamos então y'=1-tfracv'v^2 e substituímos tanto y quanto y' na equação original.

Passo 3

Substituindo em y' = x^2 + yx - y^2 obtemos, após simplificações, a equação para v:
v' = 2x^2-1x,v + 1
Essa é uma ODE linear de primeira ordem.

Passo 4

Reescrevemos no formato padrão v' + P(x)v = Q(x), onde
P(x)=-2x^2-1x=-2x+1xe Q(x)=1
Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(-2x+1/x)dx=x,e^-x^2

Passo 5

Multiplicando por mu temos
(v,mu)'=QmuLongrightarrow (v,x,e^-x^2)'=x,e^-x^2
Integrando:
v,x,e^-x^2=integral x,e^-x^2dx + C = -tfrac12,e^-x^2 + C

Passo 6

Isolando v:
v = -tfrac12,e^-x^2+Cx,e^-x^2 = -12x + C,e^x^2x

Passo 7

Voltando a y pela substituição y=x+1/v, obtemos
y(x)=x + 1-tfrac12x+tfracC,e^x^2x=x+xC,e^x^2-tfrac12
Definindo K=2C, podemos reescrever de forma mais simples:
y(x)=x+2xK,e^x^2-1,onde K é a constante de integração.

Passo 8

Esta expressão é a solução geral da Riccati dada a solução particular y1=x.

Resposta

y(x)=x+2xK,e^x^2-1, onde K é a constante de integração.

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