Resolva as equações diferenciais de Riccati a seguir.
Passo 1
Neste exercício vamos resolver a equação de Riccati
sabendo que uma solução particular é
. O conteúdo é a técnica de transformar uma Riccati em uma equação linear usando a substituição baseada em uma solução particular.
Passo 2
Para aproveitar
, fazemos a substituição
. Calculamos então
e substituímos tanto
quanto
na equação original.
Passo 3
Substituindo em
obtemos, após simplificações, a equação para
:
Essa é uma ODE linear de primeira ordem.
Passo 4
Reescrevemos no formato padrão
, onde
Calculamos o fator integrante
Passo 5
Multiplicando por
temos
Integrando:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Voltando a
pela substituição
, obtemos
Definindo
, podemos reescrever de forma mais simples:
Passo 8
Esta expressão é a solução geral da Riccati dada a solução particular
.