Resolva as equações diferenciais de Riccati a seguir.
d yd x+yx+y^2x^2=3 com y1=x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de Riccati
dydx + yx + y^2x^2 = 3
com solução particular y1 = x. A estratégia é usar a substituição
y = y1 + 1v = x + 1v,
que reduz a Riccati a uma EDO linear de primeira ordem em v.

Passo 2

Começamos calculando
y = x + 1v Longrightarrow dydx = 1 - 1v^2,dvdx
Substituindo em
dydx + yx + y^2x^2 = 3
e reunindo termos, obtém-se após simplificar a equação linear
dvdx - 3x,v = 1x^2

Passo 3

Para resolver
dvdx - 3x,v = 1x^2
calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(-3!integraldxxr) = x^-3
Multiplicando a equação por mu vem
ddxl(x^-3vr) = x^-5
Integrando em x,
x^-3v = integral x^-5,dx = -14x^4 + C,
portanto
v = -14x + C,x^3,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando a y, temos
y = x + 1v = x + 1,C,x^3 - tfrac14x,
Note que
C,x^3 - 14x = 4C,x^4 - 14x Longrightarrow 1v = 4x4C,x^4 - 1
Logo a solução geral é
y(x) = x + 4x4C,x^4 - 1

Resposta

y(x) = x + 4x4C,x^4 - 1,
onde C é a constante de integração.

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