Ache a serie de Fourier correspondente à função dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier da função definida por:
Isso significa que a gente precisa decompor essa função em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas. Vamos precisar calcular os coeficientes
,
e
que compõem a série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando que a função está definida de
a
, o período
é
. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para
é:
Onde
. Vamos calcular:
Calculando as integrais:
Então,
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais. Devido à simetria da função, perceberemos que os coeficientes
serão nulos, já que a função não é par.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Resolvendas as integrais, obtemos:
Resposta
A série de Fourier da função dada é: