Ache a serie de Fourier correspondente à função dada
f(x)= x+1 & -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier da função definida por:
f(x)= x+1 & -1
Isso significa que a gente precisa decompor essa função em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas. Vamos precisar calcular os coeficientes , e que compõem a série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando que a função está definida de a , o período é . Isso significa que a função se repete a cada intervalo de .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o coeficiente a0 = 1T integral-L^L f(x) , dx , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para a0 = 12 ( integral-1^0 (x + 1) , dx + integral0^1 x , dx ) é:
integral-1^0 (x + 1) , dx = [ x^22 + x ]-1^0 = (0 + 0) - (12 -1) = 12
Onde integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12 . Vamos calcular:
a0 = 12 ( 12 + 12 ) = 12
Calculando as integrais:
Então,

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os coeficientes an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) , dx . A fórmula para an = integral-1^1 f(x) cos(npi x) , dx = integral-1^0 (x + 1) cos(npi x) , dx + integral0^1 x cos(npi x) , dx é:
Substituindo :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais. Devido à simetria da função, perceberemos que os coeficientes serão nulos, já que a função não é par.

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) , dx . A fórmula para bn = integral-1^1 f(x) sin(npi x) , dx = integral-1^0 (x + 1) sin(npi x) , dx + integral0^1 x sin(npi x) , dx é:
bn = 2npi [1 - (-1)^n]
Substituindo :
Resolvendas as integrais, obtemos:

Resposta

A série de Fourier da função dada é:
f(x) = 12 + sumn=1^infty 2npi [1 - (-1)^n] sin(npi x)

Exercícios relacionados