Obtenha a série de Fourier da função definida em (0,2 \pi) por f(x)=x \sin (x) e peródica de período 2 \pi.
Passo 1
O enunciado pede: obter a série de Fourier da função, periódica de período 2\pi, definida em (0,2\pi) por f(x)=x\sin(x).
Informações dadas e o que será calculado:
Função em (0,2\pi): f(x)=x\sin(x).
Período: 2\pi.
Quer-se a série de Fourier (forma padrão em termos de cossenos e senos) válida para a extensão periódica de período 2\pi.
Vou determinar os coeficientesa_0,\quad a_n,\quad b_n\quad (n\ge1)e montar a série\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
Passo 2
Fórmulas que vamos usar (para funções com período 2\pi integradas em (0,2\pi)):
Explicando: a_0 dá a média da função (multiplicada por 1), e a_n,b_n são as projeções de f sobre \cos(nx) e \sin(nx). Vou calcular essas integrais passo a passo.
Passo 3
Cálculo de a_0.
Temos
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x\sin(x)\,dx.
Para calcular I_0=\int_{0}^{2\pi} x\sin(x)\,dx uso integração por partes. Fórmula: \int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolho u=x e dv=\sin x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. Assim