Obtenha a série de Fourier da função definida em (0,2 \pi) por f(x)=x \sin (x) e peródica de período 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede: obter a série de Fourier da função, periódica de período 2\pi, definida em (0,2\pi) por f(x)=x\sin(x).
Informações dadas e o que será calculado:
  • Função em (0,2\pi): f(x)=x\sin(x).
  • Período: 2\pi.
  • Quer-se a série de Fourier (forma padrão em termos de cossenos e senos) válida para a extensão periódica de período 2\pi.
  • Vou determinar os coeficientes a_0,\quad a_n,\quad b_n\quad (n\ge1)e montar a série \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (para funções com período 2\pi integradas em (0,2\pi)):
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Explicando: a_0 dá a média da função (multiplicada por 1), e a_n,b_n são as projeções de f sobre \cos(nx) e \sin(nx). Vou calcular essas integrais passo a passo.

Passo 3

Cálculo de a_0.
Temos
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x\sin(x)\,dx.
Para calcular I_0=\int_{0}^{2\pi} x\sin(x)\,dx uso integração por partes. Fórmula: \int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolho u=x e dv=\sin x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. Assim
I_0 = -x\cos x\Big|_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi}\cos x\,dx.
Avalio os termos:
-x\cos x\Big|_{0}^{2\pi} = -2\pi\cos(2\pi) - ( -0\cdot\cos 0) = -2\pi\cdot 1 = -2\pi,
\int_{0}^{2\pi}\cos x\,dx = \sin x\Big|_{0}^{2\pi}=0.
Logo I_0=-2\pi e
a_0=\frac{1}{\pi}(-2\pi)=-2.
Portanto a constante na série será \dfrac{a_0}{2}=-1.

Passo 4

Cálculo de a_n (caso geral) para n\ge1.
Começamos com
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x\sin x\cos(nx)\,dx.
Uso a identidade trigonométrica de produto:
\sin x\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((n+1)x)+\sin((1-n)x)\bigr).
Assim a integral se escreve
\int_{0}^{2\pi} x\sin x\cos(nx)\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} x\sin((n+1)x)\,dx + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} x\sin((1-n)x)\,dx.
Vamos usar uma fórmula útil (derivada por partes): para inteiro k\neq0,
\int_{0}^{2\pi} x\sin(kx)\,dx = -\frac{2\pi}{k}.
Breve derivação dessa fórmula: com u=x, dv=\sin(kx)\,dx temos v=-\cos(kx)/k, daí
\int_{0}^{2\pi} x\sin(kx)\,dx = -\frac{x\cos(kx)}{k}\Big|_{0}^{2\pi} + \frac{1}{k}\int_{0}^{2\pi}\cos(kx)\,dx.
Como \int_{0}^{2\pi}\cos(kx)\,dx=0 para inteiro não nulo k, e \cos(2\pi k)=1, resulta o valor -2\pi/k.
Agora, para n\neq1 os dois k=n+1 e k=1-n são inteiros não nulos, então
\int_{0}^{2\pi} x\sin((n+1)x)\,dx = -\frac{2\pi}{n+1},\qquad \int_{0}^{2\pi} x\sin((1-n)x)\,dx = -\frac{2\pi}{1-n}.
Somando e multiplicando por 1/2,
\int_{0}^{2\pi} x\sin x\cos(nx)\,dx = -\pi\Bigl(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{1-n}\Bigr).
Simplificando \dfrac{1}{1-n}=-\dfrac{1}{n-1}, obtemos
\int_{0}^{2\pi} x\sin x\cos(nx)\,dx = -\pi\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\Bigr) = -\pi\cdot\frac{-2}{n^2-1} = \frac{2\pi}{n^2-1}.
Assim, para n\neq1,
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi}{n^2-1}=\frac{2}{n^2-1}.
Agora tratamos o caso n=1 separadamente (porque a fórmula acima usa k=1-n=0). Para n=1:
a_1=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x\sin x\cos x\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x\cdot\tfrac{1}{2}\sin(2x)\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} x\sin(2x)\,dx.
Usando a fórmula com k=2 temos \int_{0}^{2\pi} x\sin(2x)\,dx = -\dfrac{2\pi}{2}=-\pi. Logo
a_1=\frac{1}{2\pi}\cdot(-\pi)=-\tfrac{1}{2}.
Resumo dos a_n:
a_0=-2,\qquad a_1=-\tfrac{1}{2},\qquad a_n=\frac{2}{n^2-1}\quad (n\ge2).

Passo 5

Cálculo de b_n.
Começamos com
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x\sin x\sin(nx)\,dx.
Usamos a identidade
\sin x\sin(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((1-n)x)-\cos((1+n)x)\bigr).
Então
\int_{0}^{2\pi} x\sin x\sin(nx)\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} x\cos((1-n)x)\,dx - \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} x\cos((1+n)x)\,dx.
Novamente avaliamos a integral geral (por partes): para inteiro k\neq0,
\int_{0}^{2\pi} x\cos(kx)\,dx = \frac{\cos(2\pi k)-1}{k^2}=0,
porque \cos(2\pi k)=1. Se k=0, então \int_{0}^{2\pi} x\cos(0)\,dx=\int_{0}^{2\pi} x\,dx = 2\pi^2.
Para n\neq1 ambos k=1-n e k=1+n são inteiros não nulos, logo ambas as integrais valem zero, dando b_n=0 para n\neq1.
Para n=1 temos b_1=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x\sin^2 x\,dx. Use \sin^2 x=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2x):
\int_{0}^{2\pi} x\sin^2 x\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} x\,dx - \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} x\cos 2x\,dx.
O primeiro integral é \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi^2=\pi^2. O segundo é zero (caso k=2 da fórmula acima). Assim \int_{0}^{2\pi} x\sin^2 x\,dx=\pi^2 e
b_1=\frac{1}{\pi}\cdot\pi^2=\pi.
Resumo dos b_n:
b_1=\pi,\qquad b_n=0\\ \text{para}\\ n\ge2.

Passo 6

Montagem final da série de Fourier.
A série de Fourier da função periódica f(x)=x\sin x (período 2\pi) é
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
Substituindo os coeficientes obtidos:
\frac{a_0}{2}=-1, \qquad a_1=-\tfrac{1}{2},\quad b_1=\pi, \qquad a_n=\frac{2}{n^2-1}\\ (n\ge2),\quad b_n=0\\ (n\ge2).
Portanto, escrevendo o termo n=1 separado e somando os n\ge2:
f(x) = -1 -\tfrac{1}{2}\cos x + \pi\sin x + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n^2-1}\cos(nx).

Resposta

f(x) = -1 -\tfrac{1}{2}\cos x + \pi\sin x + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n^2-1}\cos(nx).

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