Use a série de senos de Fourier para mostrar que
\cos (\pi x)=\frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4 n^{2}-1} \sin (2 n \pi x), 0<x<1 .

Passo 1

O enunciado nos dá a função \cos(\pi x) no intervalo 0<x<1 e pede para mostrar que essa função pode ser escrita como uma série do tipo
\cos(\pi x)=\frac{8}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n^{2}-1}\sin(2n\pi x),\qquad 0<x<1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a expandir é \cos(\pi x) definida em 0<x<1.
  • A série pedida envolve apenas senos com frequências 2n\pi, ou seja, termos \sin(2n\pi x).
  • O objetivo é obter explicitamente os coeficientes da série e reconhecer que só aparecem os termos com índice par (frequências 2n).

Passo 2

Explicação do método (fórmula dos coeficientes e por que ela funciona).
  • Suponha que uma função f\) definida em \((0,1)\) possa ser escrita como série de senos \[f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}b_m\sin(m\pi x).
  • As funções \sin(m\pi x) são ortogonais em [0,1]; isto é, para inteiros m,n\ge1,
\int_{0}^{1}\sin(m\pi x)\sin(n\pi x)\,dx =\begin{cases} 0,& m\ne n,\\[4pt] \dfrac{1}{2},& m=n. \end{cases}
Explicação rápida dessa integral: usa-se identidade produto-para-soma ou integra-se diretamente; o resultado para m=n\] é \(\int_0^1\sin^2(m\pi x)\,dx=1/2.
  • Multiplicando a expressão por \sin(k\pi x) e integrando de 0 a 1 elimina-se todos os termos m\ne k por ortogonalidade, sobrando
\int_{0}^{1}f(x)\sin(k\pi x)\,dx =\frac{b_k}{2}.
  • Portanto a fórmula para os coeficientes é
b_k=2\int_{0}^{1}f(x)\sin(k\pi x)\,dx.
Comentário intuitivo: a ortogonalidade funciona como um “projeção” de f sobre cada modo \sin(k\pi x), e o fator 2 corrige a norma de \sin(k\pi x).]

Passo 3

Aplicação ao caso f(x)=\cos(\pi x): cálculo dos coeficientes b_m.
  • Pela fórmula,
b_m=2\int_{0}^{1}\cos(\pi x)\sin(m\pi x)\,dx.
  • Usamos a identidade produto-para-soma \sin A\cos B=\tfrac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]. Com A=m\pi x e B=\pi x,
\cos(\pi x)\sin(m\pi x)=\tfrac{1}{2}\big(\sin((m+1)\pi x)+\sin((m-1)\pi x)\big).
  • Assim o integral interior vale
\int_{0}^{1}\cos(\pi x)\sin(m\pi x)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin((m+1)\pi x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin((m-1)\pi x)\,dx.
  • Recorde: para inteiro k\ge1,
\int_{0}^{1}\sin(k\pi x)\,dx=\frac{1-(-1)^k}{k\pi}.
Isso vem de \int\sin(k\pi x)\,dx=-\cos(k\pi x)/(k\pi) e avaliando em 0 e 1.
  • Observe a paridade: se m é ímpar então m\pm1 são pares e (-1)^{m\pm1}=1, logo 1-(-1)^{m\pm1}=0 e o integral é zero. Se m é par, escreva m=2n com n\ge1; então (-1)^{m\pm1}=-1 e os dois termos não se anulam.
  • Portanto para m ímpar temos b_m=0. Para m=2n (par),
\int_{0}^{1}\cos(\pi x)\sin(2n\pi x)\,dx =\tfrac{1}{2}\left(\frac{1-(-1)^{2n+1}}{(2n+1)\pi}+\frac{1-(-1)^{2n-1}}{(2n-1)\pi}\right).
Como (-1)^{2n\pm1}=-1, os numeradores valem 2, então
\int_{0}^{1}\cos(\pi x)\sin(2n\pi x)\,dx =\tfrac{1}{2}\left(\frac{2}{(2n+1)\pi}+\frac{2}{(2n-1)\pi}\right) =\frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}\right).
  • Somando as frações:
\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1} =\frac{(2n-1)+(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} =\frac{4n}{4n^{2}-1}.
  • Logo para m=2n,
\int_{0}^{1}\cos(\pi x)\sin(2n\pi x)\,dx=\frac{4n}{\pi(4n^{2}-1)}.
  • Multiplicando por 2 para obter b_{2n},
b_{2n}=2\cdot\frac{4n}{\pi(4n^{2}-1)}=\frac{8n}{\pi(4n^{2}-1)}.

Passo 4

Montagem da série final e observações sobre convergência.
  • Como b_m=0 para m ímpar e b_{2n}=\dfrac{8n}{\pi(4n^{2}-1)} para n\ge1, a expansão em senos fica
\cos(\pi x)=\sum_{m=1}^{\infty}b_m\sin(m\pi x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}\sin(2n\pi x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n}{\pi(4n^{2}-1)}\sin(2n\pi x).
  • Isso é exatamente a identidade pedida:
\cos(\pi x)=\frac{8}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n^{2}-1}\sin(2n\pi x),\qquad 0<x<1.
  • Comentário sobre convergência (curto e claro): \cos(\pi x) é uma função suave em [0,1], portanto sua série de senos (obtida projetando em cada \sin(m\pi x)) converge ponto a ponto para \cos(\pi x) em 0<x<1 (e até converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (0,1)). Nos extremos x=0,1 a série de senos converge para 0 (soma dos senos é zero nesses pontos), que difere dos valores de \cos(\pi x) nesses extremos; por isso a igualdade é indicada para 0<x<1.

Passo 5

Checagem rápida em um ponto simples para ganhar confiança.
  • Tome x=\tfrac{1}{2}. O lado esquerdo vale \cos(\pi/2)=0.
  • No lado direito, \sin(2n\pi\cdot\tfrac{1}{2})=\sin(n\pi)=0 para todo n, então a soma é 0. Concorda com o lado esquerdo, plausibilizando a identidade (além da demonstração rigorosa por coeficientes).

Resposta

\cos(\pi x)=\frac{8}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n^{2}-1}\sin(2n\pi x),\qquad 0<x<1.

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