Explicação rápida dessa integral: usa-se identidade produto-para-soma ou integra-se diretamente; o resultado para m=n\] é \(\int_0^1\sin^2(m\pi x)\,dx=1/2.
Multiplicando a expressão por \sin(k\pi x) e integrando de 0 a 1 elimina-se todos os termos m\ne k por ortogonalidade, sobrando
\int_{0}^{1}f(x)\sin(k\pi x)\,dx =\frac{b_k}{2}.
Portanto a fórmula para os coeficientes é
b_k=2\int_{0}^{1}f(x)\sin(k\pi x)\,dx.
Comentário intuitivo: a ortogonalidade funciona como um “projeção” de f sobre cada modo \sin(k\pi x), e o fator 2 corrige a norma de \sin(k\pi x).]
Passo 3
Aplicação ao caso f(x)=\cos(\pi x): cálculo dos coeficientes b_m.
Pela fórmula,
b_m=2\int_{0}^{1}\cos(\pi x)\sin(m\pi x)\,dx.
Usamos a identidade produto-para-soma \sin A\cos B=\tfrac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]. Com A=m\pi x e B=\pi x,
Isso vem de \int\sin(k\pi x)\,dx=-\cos(k\pi x)/(k\pi) e avaliando em 0 e 1.
Observe a paridade: se m é ímpar então m\pm1 são pares e (-1)^{m\pm1}=1, logo 1-(-1)^{m\pm1}=0 e o integral é zero. Se m é par, escreva m=2n com n\ge1; então (-1)^{m\pm1}=-1 e os dois termos não se anulam.
Portanto para m ímpar temos b_m=0. Para m=2n (par),
Comentário sobre convergência (curto e claro): \cos(\pi x) é uma função suave em [0,1], portanto sua série de senos (obtida projetando em cada \sin(m\pi x)) converge ponto a ponto para \cos(\pi x) em 0<x<1 (e até converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (0,1)). Nos extremos x=0,1 a série de senos converge para 0 (soma dos senos é zero nesses pontos), que difere dos valores de \cos(\pi x) nesses extremos; por isso a igualdade é indicada para 0<x<1.
Passo 5
Checagem rápida em um ponto simples para ganhar confiança.
Tome x=\tfrac{1}{2}. O lado esquerdo vale \cos(\pi/2)=0.
No lado direito, \sin(2n\pi\cdot\tfrac{1}{2})=\sin(n\pi)=0 para todo n, então a soma é 0. Concorda com o lado esquerdo, plausibilizando a identidade (além da demonstração rigorosa por coeficientes).