Ache a série de Fourier de f no intervalo dado
f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,-\pi<x<0 \\\ x^{2}, 0 \leq x \leq \pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função \[f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0,\\\ x^2, & 0 \le x \le \pi. \end{cases}
Vamos usar a forma geral da série de Fourier para função de período 2\pi\]: \[f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Bigr)\] com \[a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.\] Como \(f(x)=0 em (-\pi,0), todas as integrais podem ser escritas como integrais de 0 a \pi usando f(x)=x^2.

Passo 2

Calcular a_0:
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx = \int_{0}^{\pi}x^2\,dx = \Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_0^{\pi} =\frac{\pi^3}{3}.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\,\frac{\pi^3}{3}=\frac{\pi^2}{3},
e
\frac{a_0}{2}=\frac{\pi^2}{6}.

Passo 3

Calcular a_n:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo duas integrações por partes obtemos
\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =2\pi\frac{(-1)^n}{n^2}.
Assim
a_n=\frac{1}{\pi}\,2\pi\frac{(-1)^n}{n^2} =\frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 4

Calcular b_n:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx.
Duas integrações por partes levam a
\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx =-\pi^2\frac{(-1)^n}{n} +\;2\,\frac{(-1)^n-1}{n^3}.
Logo
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\pi^2\frac{(-1)^n}{n} +2\,\frac{(-1)^n-1}{n^3}\Bigr) =-\frac{\pi(-1)^n}{n} +\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}.

Resposta

A série de Fourier de f em (-\pi,\pi) é
f(x)\sim \frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\!\Biggl[ \frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nx) +\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n} +\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr)\sin(nx) \Biggr].

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