Ache a série de Fourier de f no intervalo dado
f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,-\pi<x<0 \\\\ 1,0 \leq x \leq \pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) \[f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0,\\\\ 1, & 0 \le x \le \pi. \end{cases}
Precisamos calcular os coeficientes da série de Fourier padrão: (\displaystyle a_0,;a_n,;b_n].

Passo 2

Cálculo de a_0. Por definição,
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x.
Como f(x)=0 em (-\pi,0) e f(x)=1 em (0,\pi), temos
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\,\bigl[x\bigr]_{0}^{\pi} = 1.
O termo constante na série é a_0/2 = 1/2.

Passo 3

Cálculo de a_n para n\ge 1:
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\,\biggl[\frac{\sin(nx)}{n}\biggr]_{0}^{\pi} = 0.
Logo todos os a_n são nulos.

Passo 4

Cálculo de b_n para n\ge 1:
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\,\biggl[-\frac{\cos(nx)}{n}\biggr]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi n}\bigl(1 - (-1)^n\bigr).
Portanto
b_n = \begin{cases} 0, & n\text{ par},\\[6pt] \dfrac{2}{\pi n}, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

Passo 5

Montando a série de Fourier:
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr) = \frac12 + \sum_{\substack{n=1\n\;\text{ímpar}}}^{\infty}\frac{2}{\pi n}\,\sin(nx).
Reindexando em n=2k-1:
f(x)\sim \frac12 + \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k-1)x\bigr)}{2k-1}.

Resposta

f(x) = \frac12 + \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k-1)x\bigr)}{2k-1}.

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