Ache a série de Fourier de f no intervalo dado
f(x)=\left\{\begin{array}{c}0,-\pi \leq x \leq 0 \\\ \operatorname{sen} x, 0 \leq x \leq \pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de
f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi \le x \le 0,\\\ \sin x, & 0 \le x \le \pi \end{cases}
no período [- \pi,\pi]. Como não há simetria simples, usamos a forma geral
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calculamos a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx =\frac{1}{\pi}\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi}\bigl(-(-1)-(-1)\bigr) =\frac{2}{\pi}.

Passo 3

Para a_n só integra de 0 a \pi:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx.
Usando a identidade de produto para soma
\sin x\cos(nx) =\tfrac12\bigl(\sin((n+1)x)+\sin((1-n)x)\bigr)
e
\int_{0}^{\pi}\sin(kx)\,dx=\frac{1-(-1)^k}{k},
segue-se (após simplificar)
\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx =-\frac{1+(-1)^n}{\,n^2-1\,},
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a_n =-\frac{1+(-1)^n}{\pi\,(n^2-1)}.
Em particular \,a_n=0 se n é ímpar e a_{2m}=-\tfrac{2}{\pi((2m)^2-1)}.

Passo 4

Para b_n temos
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(nx)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(\cos((n-1)x)-\cos((n+1)x)\bigr)\,dx.
Para n\ne1 ambas as integrais valem zero, e para n=1 fica
b_1=\frac{1}{2\pi}\Bigl[\pi-0\Bigr]=\frac12,
isto é
b_n=\begin{cases} \tfrac12,&n=1,\\\\ 0,&n\ge2. \end{cases}

Passo 5

Reunindo tudo,
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{\pi},\quad b_1=\frac12,\quad a_{2m}=-\frac{2}{\pi(4m^2-1)},\quad a_{2m-1}=0,\quad b_{n\ge2}=0.
Portanto a série de Fourier é
f(x)=\frac{1}{\pi}+\frac12\sin x -\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2m x)}{4m^2-1}.

Resposta

\boxed{% f(x)=\frac{1}{\pi}+\frac12\sin x -\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2m x)}{4m^2-1}. }

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